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数学の質問です。

2つの2次方程式 2x∧2+kx+4=0, x∧2+x+k=0 がただ一つの共通の実数解をもつように定数kの値を定め、その共通解を求めよ。

という問題についてです。

共通解をx=α とおき方程式にそれぞれ代入。連立させると(k−2)(α−2)=0 よってk=2またはα=2。k=2の場合は元の二つの方程式の判別式が負になるので 共通の実数解をもたない。a=2の場合はk=−6 と求まり、2つの方程式に代入し解を求め、共通の1つの実数解を持つことを確認し、答えはk=-6, 共通解はx=2

というのが解答の大まかな流れです。

いくつか質問です。
まず、共通解x=αをもつという前提で式を作り、k=2またはα=2と求まったと思いますが、実際はk=2の場合は共通解をもたない、って矛盾してないですか?
また、共通解x=αを持つ⇔ k=2またはα=2 となりますよね。また「共通解をもつように」という前提がありますが、そうするとk=2の場合がNGだと分かったら自然と答えはa=2の場合にならないんですか?なぜ確かめる必要があるんですか?

よろしくお願いします。

gooドクター

A 回答 (3件)

2x^2+kx+4=0


x^2+x+k=0
2x^2+2x+2k=0
kx+4=2x+2k
(k-2)x-2(k-2)=0
(k-2)(x-2)=0

k=2の場合は
x^2+x+2=0
だから
k=2の場合は
x=(-1±i√7)/2
という共通解を持つので矛盾しません

ただ単に

共通解を持つ

というだけなら
k=2の場合はNGではありません

共通解を持つ
だけでなく

ただ一つの共通の実数解

持つ事を確かめる必要があるのです
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k=2を元の2式に代入して検討してないから、話が見えてこない。


k=2のとき、共通解は、持つに決まってる。代入してよく眺めればすぐに判る。
問題は、持つに決まってるけどそれが実数なのかどうか。
実数なのかどうかだから、判別式使ってる。
なぜ確かめる必要があるのかは、元の2式に代入すれば一目瞭然。
今こういうところで躓いてないと、本番でもやらかしていた。
何とかの解法がぁで受かるのは、理科大まで。
そこから先は、実際どうなのよときちんと確認していかないと受からない。
k=2を元の2式に代入した式をよく見て、冷や汗が出ないようなら、たぶん理科大が限界だと思う。失敗は成功の母。
ということは、代入した結果が題意を満たす、1点でx軸と接するような二次曲線(重解)であれば、それも答という事になったんでしょう。
解法の丸暗記しかやってないと、見落とすかもしれません。
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共通というくくりで解を見出そうとしている関係上、虚数解も出てくることは想定される。


なので、解が前提条件をみたすかどうか確かめる必要がある。

質問文にも書いてある通りk=2の場合は判別式が負となる。
判別式が負ということは解は虚数解になる。
虚数解だと「ただ一つの共通の実数解」という前提条件を満たさなくなる。
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