No.4ベストアンサー
- 回答日時:
とりあえず、「いかなる3桁の数も」というのはちょっと違いますね。
3桁とも同じ数字の場合は0になってしまうのでダメです。
それと、2つの同じ数字とそれよりも1小さい数字の組み合わせの場合は差が99になってしまいます。
(これは99=099として無理やり3桁に置き換えてしまえば良いですが…)
さて、それでは「3つの数字の内、少なくとも一つは異なる数字である」という条件をつけましょう。
大きい順に3つの1桁の数字をそれぞれp,q,rとします。
条件「3つの数字の内、少なくとも一つは異なる数字である」より、p>r
大きい順に並べた3桁の数字は、100p+10q+r です。
小さい順に並べた3桁の数字は、100r+10q+p です。
2つの差は、99p-99r
すなわち、99(p-r)であり、必ず99の倍数になります。
p>rなので、p-rの取り得る値は1~9のいずれかの整数です。
ここで、p-rをnと置き換えます。
99(p-n)=99n
=100n-n
=100(n-1)+100-n
nは1~9のいずれかの整数なので、100-nは91~99のいずれか。
そこに100の倍数を加算するので、
大きい方から順にならべた数と、小さい順に並べた数との差(=99(p-r))の10の位は必ず9です。
9の倍数の全ての桁を足し合わせた数は、必ず9の倍数になるという性質を利用すると、
100の桁と1の桁の組み合わせは以下の4通りしかありません。
1と8、2と7、3と6、4と5
ここでちょっとp-rについて考えてみましょう。
最初に、pは3つの中でいちばん大きな数、rはいちばん小さな数として定義しましたよね。
99(p-r)の10の位は必ず9ということが既に判明してますから、p=9
rは先ほどの4通りの組み合わせから、1~4のいずれかです。
ということは、p-rは5~8のどれかになります。
つまり、99(p-r)は、
p-r=5のとき495(一番小さな数は 4)→9-4=5
p-r=6のとき594(一番小さな数は 4)→9-4=5
p-r=7のとき693(一番小さな数は 3)→9-3=6
p-r=8のとき792(一番小さな数は 2)→9-2=7
p-rが5以外のときは、次に出来るp-rはその前に出来たp-rと異なります。
p-r=5の時のみ出来る数字は変わらず、最終的には(ゾロ目以外の)全ての3桁の数字が 495になります。
う~ん、長すぎて訳わかんなくなっちゃったかも…。
No.18
- 回答日時:
証明らしきものができてので検討してください
今任意の3桁の数があり、a≧b>cとする
10^2a+10b+c-(10^2c+10b+a)
ここで当然1位がc-a<0だから、また10位が同数だから、10,100だけかしてやらねばならないから
=10^2(a-c-1)+10(b+10-b-1)
+(c+10-a)
=10^2(a-c-1)+90+(c+10-a)
(1)(a-c-1)≦(c+10-a)のとき
すなわち a-c≦5のとき ・・(1)
最大値9だから
900+10(c+10-a)+(a-c-1)
-{10^2(a-c-1)+10(c+10-a) +9}
=10^2{9-(a-c-1)-1}+
10{10+(c+10-a)-(c+10-a)- 1}+{10+(a-c-1)-9}
=10^2(9-a+c)+90+(a-c)
いま、9-a+c=tとおくと
a-c=9-t ・・・・(2)
これを(1)に代入して
9-t≦5 よってt≧4
したがって百位は、4が最小で
このとき t=4のとき 1位は(2)より 5
よって 495に帰着する
次に
(1)(a-c-1)>(c+10-a)のとき
すなわち a-c>6のとき ・・(3)
同様に計算すると
10^2(c-a-2)+90+(11+c-a)
となる。
このとき c-a-2=tとすると
(3)に代入すると a-c=-t-2>6
より t<-8 となり不適である
以上の結果より 証明できた
、
No.17
- 回答日時:
NO.6さんの解答とほぼ同じかも知れませんが、
少しシンプルにしました。
任意の N=100a+10b+c において、
a>=b>=c>=0 とおいてよい(a=b=c ではない)
[1]Q_1=(100a+10b+c)-(100c+10b+a)=99(a-c)
ただし a-c=1~9
[2]a-c=1 のとき、
Q_2=990-099=891 これは、a-c=9 である
[3]a-c=9 のとき、
Q_3=981-189=792 これは、a-c=8 である
[4]a-c=8 のとき、
Q_4=972-279=693 これは、a-c=7 である
[5]a-c=7 のとき、
Q_5=963-369=594 これは、a-c=6 である
[6]a-c=6 のとき、
Q_6=954-459=495 これは、a-c=5 である
[7]a-c=5 のとき、
Q_6=954-459=495 で、以下繰り返す
結局最大6ステップで495に到達する
<例>112→099→891→792→693→594→495
No.15
- 回答日時:
本論から少しそれますが、この数をカプレカー定数と呼んでいて、r進数のn桁に一般化する問題が考えられています。
10進数3桁の場合のカプレカー定数が495というわけです。ryn様へ。下記の参考URL面白いですよ^^
参考URL:http://www.wschnei.de/digit-related-numbers/kapr …
No.14
- 回答日時:
No.8さんへ:
>ここで、a>c+1であることに注意してください。
a=c+1のとき、
[a|b|c]-[c|b|a] = [a-c-1|9|10+c-a] = [0|9|9]
となるため、3桁の整数であるためには、
a>c+1でなければならないという着想は理解できますが、
どのように、この着想を思いついたのでしょうか?
素直に素晴らしいと思いました。
No.13
- 回答日時:
No.11さんへ:
申し訳ないです。ありがとうございます。
今後とも、精進いたします。
No.12さんへ:
>この問題はすべての桁の数字が異なる3桁の数字でないと成り立ちません。
そのようなことはないのでは?
3桁の数字が全て同じの場合は、0に帰着しますが、
同じ数字が2つ以内であれば、495に帰着します。
以下に、反例を挙げます。
881-188=693
963-369=594
954-459=495
No.12
- 回答日時:
この問題はすべての桁の数字が異なる3桁の数字でないと成り立ちません。
きちんとした証明ではないですが各桁の数字が異なる3桁の数を並べなおしてできた2つの数100a+10b+c、100c+10b+a(a>b>c)からについて
S1=(100a+10b+c)-(100c+10b+a)=100(a-c)+(c-a)=99(a-c)
a-c=D1とすると2<D<9で
S1=100(D-1)+90+(10-D)となります。
こうしてできる各桁のうち明らかに一番大きいのは9
小さい数はD-1か10-Dになります。
D=5のときはS1=99×5=495で終了
D>5のとき同じ操作を行なったときの差をS2とすると10-D<D-1
S2=99{9-(10-D)}=99(D-1)
同様にD-1=5ならS2=495となり終了
同様にS3=99(D-2)・・・とSn=99(D+1-n)=495となるまで繰り返すことになります。
D<5のときは同様に
S2=99(10-D)で10-D>5なのであとはD>5の証明と同じなので省略します。
結局最初にどんな数字を選んでも
99×2→99×8→99×7→99×6→99×5=495となる訳です。
雑な証明ですのであとはご自分でエレガントな証明にしてください。
No.11
- 回答日時:
> 任意の3桁の数字は3度目以内に594になりますが、
> 今回は495に帰着することを証明しなければならないのでは?
その場合は「s-1<t+1となった場合」に相当するので,
あと1回の操作で495に行き着くことは証明されているのではないでしょうか.
横槍でしたm(_ _)m
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