微分方程式について

微分方程式について質問です。
(1)x'=x^2-1/t(t>0)
(2)t^3x'+x^2=0
(3)x'=t^2x
この問題の解答が
(1)dx/dt=(x^2-1)/t

変数分離して

dx/(x^2-1)=dt/t

1/(x^2-1)=(1/2)[1/(x-1)-1/(x+1)]なので

(1/2)[1/(x-1)-1/(x+1)]dx=dt/t

[1/(x-1)-1/(x+1)]dx=2dt/t

積分して

log|(x-1)/(x+1)|=2log|t|+c

(x-1)/(x+1)=Ct^2

x=(1-Ct^2)/(1-Ct^2) (Cは定数）

(2)t^3x'+x^2=0

t^3(dx/dt)=-x^2

変数分離して

dx/x^2=-dt/t^3

積分して

-1/x=(1/2)t^(-2)+c

x=-(2ct^2+1)/2t^2

(3)x'=t^2x

dx/dt=t^2x

変数分離して

dx/x=t^2dt

積分して

log|x|=t^3/3+c

x=Ce^(t^3/3)

となったのですが、解答は
(1)x=1+ct^2(x+1),x=-1
(2)1/x+1/2t^2=c,x=0
になってます。
どこが違ってるのでしょうか？
解説お願いします。

No.1 回答者： endlessriver 回答日時： 2021/04/17 17:00

あなたもちびっと間違っていますが、呆れ果てた回答です。

(1)
x≠±1のとき・・・・①
[1/(x-1)-1/(x+1)]dx=2dt/t
です。この一般解は
x=(1＋Ct^2)/(1-Ct^2) (Cは定数）
です。

①で除いた x=±1 も元の式に入れると解となることがわかります。


(2)
1/x+1/2t^2=c をまとめると
x=2t^2/(2ct^2-1)　となるが、2c → c として、
x=2t^2/(ct^2-1)　と書くべき。

もちろん、前と同様に
dx/x^2=-dt/t^3
から、x=0 も解になる。