図形の問題（中学数学）

の問題ですが、

Dから辺ACに下ろした垂線との交点をHとすると、
△ABC と△DHCが相似の関係になることから、
AB/DH = BC/HCの関係から、
√(x^2-1) : x/2 = (1+a) : √(4a^2-x^2)/2
となるのですが、（注）
このxとaの関係式（xの4次方程式になる）
に上の回答のxの値を代入しても答えが合わないようなのですが、何故なのでしょうか？
見ている相似が違えば当たり前の結果なのでしょうか？

（注）ABとHCの長さはピタゴラスの定理から計算しています。

質問者からの補足コメント

• x = √(2a+4) (1)
  
  4次方程式は、
  x^4 + (2a-3a^2)x^2 + 4a^2 = 0
  で、xの２重根号は外せて、
  x = {√(3a^2-6a) + √(3a^2+2a)}/2　　(2)
  になります。
  おっしゃられるように、
  a = 1/{2(sin20°)^2} - 2 = 2.2743...
  を(1)、(2)式に代入すると、両方とも
  2.924...
  の値になり一致します。
  aは定数になるので、その定数では(1)、(2)式は同じものになると言うことで納得しました。
  ただ、試験中に私のように(2)に迷い込んでしまった人は、時間内に(2)の２重根号を
  計算間違いしないで外せる人って、ほとんどいないと思います。そう言う意味では、
  これは爆問ですね^^;

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2021/04/24 23:48

No.1 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/04/24 20:31

確かに不思議だね。

質問文中の比例式から導かれる４次方程式は、複２次形だから容易に解けて、
正の解が１個、負の解が１個、虚数解が２個出てくる。 正の解が適する x だ。
x = √{ (3a-2)^2 + √(- 7a^2 - 12a + 4) }/√2 となる。
一方、動画の答えは x = √(2a+4) で、両者の右辺は a の関数として一致しない。
どちらの解も、解法をたどると正しいようにしか見えない。

さて、何故こんなことが起こったか。
仕掛けは、 a が変数ではないことにある。
質問の解法、動画の解法どちらよりも簡単に x を求める方法として、
△ABD だけに注目すれば、 x = 1/sin20° である。 全く身も蓋もない。
ここから √(2a+4) = 1/sin20° より、 a = 1/{ 2(sin20°)^2 } - 2 に決まる。
質問文の解と動画の解、一見異なる二つの式は、 a がこの値のときには
x = 1/sin20° となって一致する。

だから、どちらの解も数学的には正しいのだ。
テストの答案としてどうかといえば、おそらく芸術点で差がついて
動画の解答のほうが高得点だろうとは思う。

この回答へのお礼

ご回答、ありがとうございました。

お礼日時：2021/04/24 23:50