電磁気 物理

問題 1 xy 平面上の二点 A:(x, y) = (−a, 0) (a > 0)、B:(x, y) = (a, 0), C:(x, y) = (0, −a) に正に帯電した電 気量 Q の点電荷を置く。 真空中の誘電率を ε0 として以下の各問に答えよ。
(a) y 軸上の点 Y:(x, y) = (0, y) (y > 0) における電場ベクトルを求めよ。
(b) (a) において、無限遠方 (y = ∞) を電位の基準点に取るとき、仕事の計算から点 Y における電位を求め よ。
(c) 次に、点 C にある点電荷を取り除き、負の電気量 −q[c] を持つ質量 m の点電荷を y 軸上の原点近傍に おいたところ、y 軸上で単振動運動をした。点電荷が受ける力を原点周りでテーラー展開し、運動方程式 の一般解を求めよ。また、単振動の周期を求めよ。

(c)について、f=-2kQqy/{(a^2+y^2)√a^2+y^2}となり、複雑すぎて、どのように計算するのかわからなくなってしまいました。そもそも自分が導いたfが違うのかもしれません。それも含めて、(c)の解き方をご教授ください。

No.1 回答者： syotao 回答日時： 2021/04/29 16:39

単振動と言ってもじっさいは原点の小さな周辺を振動するだけだから

ａにくらべてｙは非常に小さい、したがってｙ/ａは1にくらべて
非常に小さいと考える。
あなたの出したｆをさらに変形して
ｆ＝(-2ｋＱｑ/ａ²)(ｙ/ａ)(1＋(ｙ/ａ)²)^(-3/2)
これをｙ/ａのべきにテーラー展開すれば
(-2ｋＱｑ/ａ²)（(ｙ/ａ)－(3/2)(ｙ/ａ)³＋‥）　となるが
ｙ/ａ≪1　なので(ｙ/ａ)³以降の項は省略する、
このようにしてｆをｙの一次式に近似します。