電磁気の問題です

電荷の運動についての問題なのですが、解き方がわかりません。
赤文字は自分で解いたのですが、正誤は不明です。
赤文字の正誤及び、ｖmin、図1-3の考え方、回答を教えて頂けますと幸いです。
何卒よろしくお願いします。

画像がぼやけていましたら、以下のリンク先でも同じ画像がご確認頂けます
https://imgur.com/a/bHUnBgO

No.1 ベストアンサー 回答者： endlessriver 回答日時： 2021/05/05 14:45

電界をx,yの成分に分けろときは、cos , sin を取る必要がある。

Ex=(q/4πε){x/(x²+d²)³/²-2x/(x²+d²)³/²}
=(q/4πε)(-x)/(x²+d²)³/²
Ey=(q/4πε){-d/(x²+d²)³/²-2d/(x²+d²)³/²}
=(q/4πε)(-3d)/(x²+d²)³/²

VとV=0の曲線は合っている(ただし、x=0の上の座標は 3d)。・・・①

V(0y)=(q/4πε){1/|y-d|-2/|y+d|}
y=±dで±∞(複号同順)となる。y → ±∞でV → -0
①からVがV=0となる座標は y=d/3, 3d の２つ。

y>d で V=(q/4πε){1/(y-d)-2/(y+d)}
となるので、x=(3+2√2)d>5d で最低。

以上のことを考えて、V(0,y)の図を書くと添付のようになる。

電界をEとすると運動方程式は
mv'=qE、vをかけてまとめると (mv²/2)'=qEv
積分すると、V=-∫E・dr から
mv²/2-mv₀²/2=q∫E・vdt=q∫E・dr=-q(V-V₀)

つまり、y=5d(V(0,5d)=V₀)でv₀で打ち出した qは、y=2d(V=V(0,2d))
で v=0となる v₀ を求めればよい。すなわち
v₀=√{(2q/m)(V-V₀)}・・・・・②

V₀=V(0,5d)=(q/4πε){1/(5d-d)-2/(5d+d)}
=(q/4πε){1/4d-2/6d}=(q/4πε)(-1/12d)
V=V(0,2d)=(q/4πε){1/(2d-d)-2/(2d+d)}=(q/4πε)/3d

②から
vmin=v₀=√[(2q/m)(q/4πε){1/3d-(-1/12d)}]
=√[(2q/m)(q/4πε) 5/(12d) ]=q√{ (5/24π)/εmd }

この回答へのお礼

非常に複雑な計算にもかかわらず丁寧に教えていただきまして本当にありがとうございました。
とても助かりました

お礼日時：2021/05/07 01:33