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微分可能ならば連続の証明についてです

lim(x→a)f(x)-f(a)が計算の結果
lim(x→a)f(x)-f(a)=0となり
lim(x→a)f(x)  =f(a)で連続になる条件を満たすことは理解しました

これがなぜ微分可能ならば連続の証明になるのでしょうか?


始めに設定されているlim(x→a)f(x)-f(a)の意味が分からないのですが、これが微分可能な関数を表し、計算すると連続の条件を満たす式に変形できるから、
微分可能な関数が連続になると言えるという事ですか?

示したいのがlim(x→a)f(x)=f(a)だからそれを変形させたlim(x→a)f(x)-f(a)から計算を始める、という説明を目にしたのですがよくわかりません

証明の式の意味を教えてください

質問者からの補足コメント

  • f(a)=lim(x→a)f(x)-f(a)/x-a


    連続の定義
    lim(x→a)f(x)=f(a)
    関数f(x)について極限をaとしたとき極限が存在し、かつ、f(a)が極限値と一致すると連続になる

    微分可能
    lim(x→a)f(x)-f(a)/x-a=f(a)
    右辺がある値に収束するときf(x)が微分可能と言える

    訂正があればお願いします

      補足日時:2021/05/09 07:31
  • mtrajcpさん

    lim(x→a)(f(x)-f(a))=lim(x→a)f'(a)×(x-a)で
    lim(x→a)(f(x)-f(a))がいきなり出てきたように思うのですがこれはなんでしょうか?
    ここの意味が分からず式の意味が理解できずにいます

      補足日時:2021/05/09 09:47
  • funoeさん

    lim(x-a)(f(x)-f(a)/x-a)=0/0の不定形。
    この不定形がf'(a)に収束するとき関数f(x)が微分可能と言える

    0/0の不定形になるためにはlim(x-a)(f(x)-f(a)/x-a)の分子lim(x-a)(f(x)-f(a))が0にならないといけない


    lim(x-a)(f(x)-f(a))は計算の結果lim(x-a)f(x)=f(a)となり、連続である条件を満たす

    よって
    微分可能なとき0/0の不定形になるが、0/0の不定形になるとき関数f(x)は連続である

    という事でしょうか?

      補足日時:2021/05/09 10:02
gooドクター

A 回答 (12件中1~10件)

lim(x→a){f(x)-f(a)}/(x-a)=f'(a)


だから
lim(x→a){f(x)-f(a)}=lim(x→a)(x-a)f'(a)

のだからは両辺にlim(x→a)(x-a)をかけたのではなく

lim(x→a){f(x)-f(a)}/(x-a)=f'(a)

xをaに近づけると{f(x)-f(a)}/(x-a)は f'(a)に近づく

のだから

{f(x)-f(a)}/(x-a)に(x-a)をかけたものは

f'(a)に(x-a)をかけたもの(が近づく所)に近づくのです
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この回答へのお礼

この説明でわかりました
ありがとうございました

お礼日時:2021/05/14 02:54

lim(x→a)x-a=0


だから
両辺にlim(x→a)x-aをかけるのは
両辺に0をかけることになるのです
両辺に0をかけたら
0=0
になるだけです
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x≠aの時g(x)={f(x)-f(a)}/(x-a)


x=aの時g(a)=f'(a)

関数g(x)を定義すると
g(x)はx≠aで連続
lim(x→a)g(x)=lim(x→a){f(x)-f(a)}/(x-a)=f'(a)=g(a)
だから
g(x)はx=aで連続だから
g(x)は連続

h(x)=x-a

関数h(x)を定義すると
h(x)は連続

lim(x→a)g(x)=g(a)
lim(x→a)h(x)=h(a)

連続関数g(x)と連続関数h(x)の積h(x)g(x)は連続だから

lim(x→a)h(x)g(x)=h(a)g(a)

x≠aの時h(x)g(x)=(x-a){f(x)-f(a)}/(x-a)=f(x)-f(a)
x=aの時h(a)g(a)=(a-a)f'(a)=0
だから

lim(x→a)f(x)-f(a)=0

--------------------------------------------
連続関数g(x)と連続関数h(x)の積g(x)h(x)は連続の証明

任意のε>0に対して
ε/(2+ε+|g(a)|+|h(a)|)>0に対して
あるδ>0が存在して
|x-a|<δとなる任意のxに対して
|g(x)-g(a)|<ε/(2+ε+|g(a)|+|h(a)|)<1
|h(x)-h(a)|<ε/(2+ε+|g(a)|+|h(a)|)<1
だから
|g(x)|<1+|g(a)|
|h(x)|<1+|h(a)|
だから

|g(x)h(x)-g(a)h(a)|
=|g(x)h(x)-g(a)h(x)+g(a)h(x)-g(a)h(a)|
≦|g(x)-g(a)||h(x)|+|g(a)||h(x)-h(a)|
<(1+|h(a)|+|g(a)|)ε/(2+ε+|g(a)|+|h(a)|)


だから
lim_{x→a}g(x)h(x)=g(a)h(a)
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この回答へのお礼

これは質問の答えになっているのですか?

お礼日時:2021/05/10 16:25

ε>0として|{f(x)-f(a)}/(x-a)-f'(a)|=0<εとなるような|x-a|<δが存在する


ということではありません
||の中身は0になりません

|f(x)-f(a)-(x-a)f'(a)|=0<εとなりません

|f(x)-f(a)-(x-a)f'(a)|=0となりません
|{f(x)-f(a)}/(x-a)-f'(a)|=0となりません

例)

f(x)=x^2
f(1)=1

f'(x)=2x
f'(1)=2

任意のε>0に対して
δ=ε
とすると
0<|x-1|<δ
となる任意のxに対して
|{f(x)-f(1)}/(x-1)-f'(1)|=|(x^2-1)/(x-1)-2|=|x+1-2|=|x-1|<δ=ε

だから
|{f(x)-f(1)}/(x-1)-f'(1)|=|x-1|≠0
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この回答へのお礼

lim(x→a){f(x)-f(a)/x-a}=f'(a)の
両辺にlim(x→a)x-aをかけて
lim(x→a)f(x)-f(a)=lim(x→a)f'(a)(x-a)とすることは可能ですか

lim(x→a)は両辺にかけられるのですか?

お礼日時:2021/05/10 10:09

ε>0として|{f(x)-f(a)}/(x-a)-f'(a)|=0<εとなるような|x-a|<δが存在する


ということではありません
||の中身は0になりません

δ=δ1=min(δ、1)の時(δ=<1とする時)
|{f(x)-f(a)}/(x-a)-f'(a)|=0<εとなりません
|f(x)-f(a)-(x-a)f'(a)|=0<εとなりません

|f(x)-f(a)-(x-a)f'(a)|=0<εとなりません
lim(x→a)}f(x)-f(a)-(x-a)f'(a)}=0となりません

|f(x)-f(a)-(x-a)f'(a)|=0となりません
|{f(x)-f(a)}/(x-a)-f'(a)|=0となりません
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~任意のε>0に対してεあるδが存在~というのはf(δ)=εとなるようなε、δが存在するという意味ではありません

~任意のε>0に対して、あるδが存在~
というのは

任意のε>0に対して

[|x-a|<δ→|{f(x)-f(a)}/(x-a)-f'(a)|<ε]

となるような
δが存在する
という意味です


δについて、lx-al<δ、min(δ、1)とするとき
l{f(x)-f(a)}/(x-a)-f'(a)l<εとなる
のではなく

lim(x→a){f(x)-f(a)}/(x-a)-f'(a)=0
の極限の定義から
任意のε>0に対して
[|x-a|<δ→|{f(x)-f(a)}/(x-a)-f'(a)|<ε]
となるような
δが存在する
のです

δ1=min(δ,1)
とすると
|x-a|<δ1≦δ
だから
[|x-a|<δ1→|{f(x)-f(a)}/(x-a)-f'(a)|<ε]
となるのです


min(A,1)

A<1の時min(A,1)=A
A=1の時min(A,1)=A=1
A>1の時min(A,1)=1
となります


~l{f(x)-f(a)}/x-a-f'(a)l=<ε
だから

任意のε>0に対して
あるδが存在して
|x-a|<δとなる任意のxに対して
|f(x)-f(a)-(x-a)f'(a)|<ε
となる時
lim(x→a){f(x)-f(a)-(x-a)f'(a)}=0

定義するという極限の定義から

lim(x→a){f(x)-f(a)-(x-a)f'(a)}=0
となる
のです


lim(x→a)[{f(x)-f(a)}-(x-a)f'(a)]=0が
lim(x→a){f(x)-f(a)}=lim(x→a)(x-a)f'(a)=0
と0になるのは
lim(x→a)(x-a)f'(a)
=(a-a)f'(a)
=0×f'(a)
=0だからです
はその通りです
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この回答へのお礼

ε>0として|{f(x)-f(a)}/(x-a)-f (a)|=0<εとなるような|x-a|<δが存在する
ということで| |の中身を0にするようなδが存在するという解釈でいいですか?

δ=δ1=min(δ、1)の時(δ=<1とする時)
|{f(x)-f(a)}/(x-a)-f (a)|=0<εとなる
計算して
|f(x)-f(a)-(x-a)f (a)|=0<ε
この解釈であってますか?

|f(x)-f(a)-(x-a)f (a)|=0<εのとき
lim(x→a)}f(x)-f(a)-(x-a)f (a)}=0となる

ここはまだわかりません
|f(x)-f(a)-(x-a)f (a)|=0つまり|{f(x)-f(a)}/(x-a)-f (a)|=0ならばlim(x→a)}f(x)-f(a)-(x-a)f (a)}=0が成立するということだと思っているのですがわかりません

お礼日時:2021/05/09 22:16

訂正です


f(x)がx=aで微分可能ならば
lim(x→a){f(x)-f(a)}/(x-a)=f'(a)
だから
lim(x→a){f(x)-f(a)}/(x-a)-f'(a)=0
極限の定義から

任意のε>0に対して
あるδが存在して
0<|x-a|<δとなる任意のxに対して
|{f(x)-f(a)}/(x-a)-f'(a)|<ε となる

δ1=min(δ,1)
とすると

0<|x-a|<δ1となる任意のxに対して
|{f(x)-f(a)}/(x-a)-f'(a)|<ε となる

↓両辺に|x-a|をかけると

|{f(x)-f(a)}-(x-a)f'(a)|<ε|x-a|

↓|x-a|<δ1≦1だから

|{f(x)-f(a)}-(x-a)f'(a)|<ε|x-a|≦ε

だから
lim(x→a)[{f(x)-f(a)}-(x-a)f'(a)]=0

だから
lim(x→a){f(x)-f(a)}=lim(x→a)(x-a)f'(a)=0

だから
lim(x→a){f(x)-f(a)}=0
だから
lim(x→a)f(x)=f(a)

連続
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この回答へのお礼

いくつか質問があります

①~任意のε>0に対してεあるδが存在~というのはf(δ)=εとなるようなε、δが存在するという意味ですか?

②δについて、lx-al<δ、min(δ、1)とするとき
l{f(x)-f(a)}/(x-a)-f'(a)l<εとなるのはなぜですか?

③min(A.1)はA=<1や1=<Aのように=の場合も含みますか?

④~l{f(x)-f(a)}/x-a-f'(a)l=<ε

だから
lim(x→a){f(x)-f(a)-(x-a)f'(a)}=0~
とありますが、だからと繋がれている意味が分かりませんでした


⑤lim(x→a)[{f(x)-f(a)}-(x-a)f'(a)]=0が
lim(x→a){f(x)-f(a)}=lim(x→a)(x-a)f'(a)となるのはわかりますが
lim(x→a){f(x)-f(a)}=lim(x→a)(x-a)f'(a)=0
と0になるのは
lim(x→a)(x-a)f'(a)
=(a-a)f'(a)
=0×f'(a)
=0だからですか?

お礼日時:2021/05/09 15:28

f(x)がx=aで微分可能ならば


lim(x→a){f(x)-f(a)}/(x-a)=f'(a)
だから
lim(x→a){f(x)-f(a)}/(x-a)-f'(a)=0
極限の定義から

任意のε>0に対して
あるδが存在して
0<|x-a|<δとなる任意のxに対して
|{f(x)-f(a)}/(x-a)-f'(a)|<ε となる

だから

ε/δ>0に対して
あるδ1<δが存在して

0<|x-a|<δ1となる任意のxに対して
|{f(x)-f(a)}/(x-a)-f'(a)|<ε/δ となる

↓両辺に|x-a|をかけると

|{f(x)-f(a)}-(x-a)f'(a)|<ε|x-a|/δ

↓|x-a|<δ1<δだから

|{f(x)-f(a)}-(x-a)f'(a)|<ε|x-a|/δ<εδ/δ=ε

だから
lim(x→a)[{f(x)-f(a)}-(x-a)f'(a)]=0

だから
lim(x→a){f(x)-f(a)}=lim(x→a)(x-a)f'(a)=0

だから
lim(x→a){f(x)-f(a)}=0
だから
lim(x→a)f(x)=f(a)

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fがaで微分可能としたとき、


lim(x→a)(f(x)-f(a))/(x-a) がある値に収束する。

このとき(以下、x→aの時の意)、
 f(x)-f(a) が 0以外の値に収束するとすると
 (f(x)-f(a))/(x-a) は、収束しない(「ある値に収束」しない)

だから、
  f(x)-f(a) が 0 に収束する といえる。

というわけで、点aで連続といえる。
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f(a)=lim(x→a)f(x)-f(a)/x-a


lim(x→a)f(x)-f(a)/x-a=f(a)
ではなく
f'(a)=lim(x→a){f(x)-f(a)}/(x-a)
lim(x→a){f(x)-f(a)}/(x-a)=f'(a)
です

xをaに近づけたとき
{f(x)-f(a)}/(x-a)

ある値
f'(a)
に収束するとき
f(x)がx=aで
微分可能というのです

f(x)がx=aで微分可能ならば
lim(x→a){f(x)-f(a)}/(x-a)=f'(a)
だから
lim(x→a){f(x)-f(a)}=lim(x→a)(x-a)f'(a)=0
だから
lim(x→a){f(x)-f(a)}=0
だから
lim(x→a)f(x)=f(a)

連続
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この回答へのお礼

f(x)がx=aで微分可能ならば
lim(x→a){f(x)-f(a)}/(x-a)=f'(a)
だから
lim(x→a){f(x)-f(a)}=lim(x→a)(x-a)f'(a)=0
だから
lim(x→a){f(x)-f(a)}=0

となって
lim(x→a){f(x)-f(a)}/(x-a)=f'(a)
だから
lim(x→a){f(x)-f(a)}=lim(x→a)(x-a)f'(a)

のだからは両辺にlim(x→a)(x-a)をかけたということを意味しますか

お礼日時:2021/05/10 16:44

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