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三角関数の部分積分に関する問題です。
問題は画像で添付させていただきました。
今日中に提出しないといけない課題なのですが、結構時間をかけたにもかかわらずいまだ解けていません。
おそらく sin(x)^n を いい感じの関数 (F)’とGの積の形で表せばいいと思うのですが、そのFとGが見つかりません。
できれば過程も載せてほしいですが、関数FとGだけ教えてくださっても構いません。

ベストアンサーに関しては、正確性とスピードを基準として選ばせていただきます。
よろしくおねがいします。

「三角関数の部分積分」の質問画像
gooドクター

A 回答 (7件)

部分積分とは


{f(x)g(x)}'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)を積分しただけのもの
これを応用すればよい

(1)

(1/n)sin^[n-1]x=f(x)
-cosx=g(x)とおくと

{f(x)g(x)}'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)
⇔f(x)g'(x)={f(x)g(x)}'-f(x)'g(x)
両辺xで積分
∫f(x)g'(x)dx=f(x)g(x)-∫f(x)'g(x)dx
∫(1/n)sin^[n-1]x・sinxdx
=(-1/n)sin^[n-1]x・cosx-∫{(1/n)sin^[n-1]x}'(-cosx)dx

(1/n)∫sin^[n]x dx
=(-1/n)sin^[n-1]x・cosx-∫{(1/n)(n-1)sin^[n-2]x}cosx(-cosx)dx
=(-1/n)sin^[n-1]x・cosx-∫{(1/n)(n-1)sin^[n-2]x}(sin²x-1)dx
=(-1/n)sin^[n-1]x・cosx-∫{(1/n)(n-1){sin^[n]x-sin^[n-2]x}dx
⇔(1/n)∫sin^[n]x dx+∫{(1/n)(n-1)sin^[n]xdx
=(-1/n)sin^[n-1]x・cosx+∫{(1/n)(n-1)sin^[n-2]xdx
⇔∫sin^[n]x dx
=(-1/n)sin^[n-1]x・cosx+∫{(1/n)(n-1)sin^[n-2]xdx

(2)も同じ要領で!
右辺の1項目がf(x)g(x)に相当するものとみて
f(x),g(x)を決めてあげればよい
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今日中の課題か、カンニングにならないように


明日解説しようかな。
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たとえば


sin^(n-1) x cos x

cos^(n-1) x sin x
を x で微分すればいいと思うんだ, 「何が何でも積分で証明しなきゃならない」って縛りプレイでなければ.
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(2)も同様にする、


(cosx)^n=(cosx)^(n-1)*cosxとして、部分積分を使う。
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∫(sinx)^ndx=∫(sinx)^(n-1)*sinxdx=∫(sinx)^(n-1)(-cosx)'dx


=-(sinx)^(n-1)*cosx+(n-1)∫(sinx)^(n-2)*(cosx)^2dx
=-(sinx)^(n-1)*cosx+(n-1)∫(sinx)^(n-2)*{1-(sinx)^2}dx
=-(sinx)^(n-1)*cosx+(n-1)∫(sinx)^(n-2)dx-(n-1)∫(sinx)^n}dx
n∫(sinx)^ndx=-sinx^(n-1)*cosx+(n-1)∫(sinx)^(n-2)dx
∫(sinx)^ndx=-(1/n)sinx^(n-1)*cosx+{(n-1)/n}∫(sinx)^(n-2)dx
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