不等式

0以上の実数a,b,cが
a+b-c≦1
b+c-a≦1
c+a-b≦1
をみたしているとき、
a^2+b^2+c^2-2abc≦1
が成り立つことを示せ。

教えてください。

No.1 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2021/05/21 17:30

0≦a

0≦b
0≦c

a+b-c≦1…(1)
b+c-a≦1…(2)
c+a-b≦1…(3)

0≦a-bcの時
(1)の両辺にc-b-bcを加えると
a-bc≦1+c-b-bc
a-bc≦(1-b)(1+c)…(4)
(3)の両辺にb-c-bcを加えると
a-bc≦1+b-c-bc
a-bc≦(1+b)(1-c)
↓0≦a-bcだからこれに(4)をかけると
(a-bc)^2≦(1-b^2)(1-c^2)…(5)

a-bc<0の時
(2)の両辺にbc-b-cを加えると
bc-a≦1-b-c+bc
bc-a≦(1-b)(1-c)…(6)
a≧0だから
-a≦0だから
bc-a≦bc
b≧0,c≧0だから
0<1≦1+b+cだから
bc<1+b+c+bc=(1+b)(1+c)だから
bc-a<(1+b)(1+c)
↓0<bc-aだからこれに(6)をかけると
(bc-a)^2≦(1-b^2)(1-c^2)

↓これと(5)から

(a-bc)^2≦(1-b^2)(1-c^2)
a^2-2abc+b^2c^2≦1-b^2-c^2+b^2c^2

↓両辺にb^2+c^2-b^2c^2を加えると
∴
a^2+b^2+c^2-2abc≦1

この回答へのお礼

とてもよくわかりました。
ありがとうございました。

お礼日時：2021/05/21 20:40