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解析のマクローリン展開についてです。

↓の問題なんですが、
マクローリン展開のnを5までにして示して良いんですか?
どうしてn=5までに出来るのですか?

教科書のマクローリン展開の説明のページには、log(1+x)のマクローリン展開も載っていたのですが、そこにはnまでとして表されていたのと、nの定義?はf(x)がn階まで連続な導関数を持つとあったので、よく分からなくなりました。
log(1+x)は5階以上導関数をもちませんか?なのに5で打ち切って良いのがよく理解できなくて。

「解析のマクローリン展開についてです。 ↓」の質問画像

A 回答 (6件)

マクローリン展開は∞に続くのです



5次で打ち切っているわけではありません

5次の項は
(x^5/5)
だけなので

x^5/{5(1+θx)^5}

5次の項ではなく
5次以上の項をまとめた剰余項なのです

n次で打ち切っているわけでもありません

n次の項は
-(-x)^n/n
だけなので

-(-x)^n/{n(1+θx)^n}

n次の項ではなく
n次以上の項をまとめた剰余項なのです

マクローリン展開は∞に続くのです
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。納得です

お礼日時:2021/08/17 20:45

既に他の方が答えていますが、これは単に[10]がn=5の場合の証明を求めているだけでしょう。

nは任意なので当然にn=5でも式は成り立つのです。
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「nの定義?」とやらがはっきりしないとなんともいえんけど....



「5階以上の連続な導関数を持つ」なら, 「5階まで連続な導関数を持つ」でしょ?
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他の回答のお礼コメントに対してですが「5で終われる」ではなくて「式を書く人が5で終わらせる事にした」と言うだけだと思います。

元々その式は有限個の項数であればいくらでも続けられるはずだったと思うので、式を書く人が「じゃあ5で終わらせよう」と考えれば5で終わらせる事ができたと思います。
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第5項の中に入っている θ がポイントです。


これは、マクローリン展開(テイラー展開の一種)ではなく、
4次のテイラーの定理ですよ。
無限級数となっているのがテイラー展開、
有限項で打ち切って剰余項が足してあるのがテイラーの定理です。
剰余項にはいろいろな書き方がありますが、
↓に出てくる「コーシーの剰余項」が使われていますね。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%86%E3%82%A4 …
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最終項にθxが入っているでしょう。

中間値の定理を繰り返し適用することでこの式を作ることが出来ます。これを繰り返していくことで最終項が小さくなっていくから無限級数が収束するというのがマクローリン展開ですね。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
単元の説明はnで終わりを表してるのに、これはどうして5で終われるんですか?

お礼日時:2021/08/09 19:25

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