No.5ベストアンサー
- 回答日時:
tanθ=√3 -2 <0 より、90°<θ<180°
公式 1+tan²θ=1/cos²θ より、
1+(√3 -2)²=1/cos²θ
1+3-4√3 + 4=1/cos²θ
1/cos²θ=8-4√3
cos²θ=1/(8-4√3)
=1/{4(2-√3)}
=(2+√3)/{4(2-√3)(2+√3)}
=(2+√3)/4
=(4+2√3)/8
=(1+√3)²/(2√2)²
90°<θ<180° より、 cosθ<0 なので、
cosθ=-(1+√3)/(2√2)
=-√2(1+√3)/4
=-(√6+√2)/4
公式 sinθ=tanθ・cosθ
=(√3 -2){-(√6+√2)/4}
=-(3√2+√6-2√6-2√2)/4
=(√6-√2)/4
No.6
- 回答日時:
sinθ/cosθ = (√3) - 2, ←[1]
(sinθ)² + (cosθ)² = 1 ←[2]
を sinθ, cosθ の連立方程式と見て解けばよいです。
0≦θ≦180 より、 sinθ ≧ 0 でもあります。 ←[3]
[1] を sinθ/((√3) - 2) = cosθ と変形して ←[1’]
[2] の cosθ へ代入すると、
1 = (sinθ)² + (cosθ)² = (sinθ)² { 1 + 1/((√3) - 2)² } より、
(sinθ)² = 1/{ 1 + 1/((√3) - 2)² } = (2 - √3)/4.
[3] より、 sinθ = √{ (2 - √3)/4 } = (√6 - √2)/4.
これと [1’] とより、
cosθ = { (√6 - √2)/4 }/((√3) - 2) = (- √6 - √2)/4.
No.4
- 回答日時:
直角三角形を考えて、tan は直角をはさむ辺の長さの比ですから
tanθ = (√3) - 2 < 0
ということは、90°<θ<180° で
・下の辺の長さを 1 としたとき
・直立する辺の長さが |(√3) - 2| = 2 - √3
ということです。
この直角三角形の斜辺の長さ L は、三平方の定理より
L = √{1^2 + (2 - √3)^2} = √(1 + 4 - 4√3 + 3)
= √(8 - 4√3)
= 2√(2 - √3)
ここで、二重根号を外すために
√(2 - √3) = √a - √b
とおけば、a>b>0 で、両辺を2乗して
2 - √3) = a - 2√ab + b
よって
a + b = 2
√ab = (√3)/2 → ab = 3/4
a>b>0 であることから
a = 3/2, b = 1/2
従って、斜辺の長さは
L = 2[√(3/2) - √(1/2)]
= √6 - √2
これが分かれば
sinθ = 直立する辺の長さ/斜辺の長さ
= (2 - √3)/(√6 - √2)
= (2 - √3)(√6 + √2)/(6 - 2) ←分母を有理化
= (2√6 + 2√2 - √18 - √6)/4
= (√6 - √2)/4
cosθ = -下の辺の長さ/斜辺の長さ
= -1/(√6 - √2)
= -(√6 + √2)/4 ←分母を有理化
No.1
- 回答日時:
0≦θ≦180°
tanθ=-2+√3
sinθ/cosθ=-2+√3 …(1)
(sinθ/cosθ)^2=(-2+√3)^2=7-4√3
(sinθ/cosθ)^2=7-4√3
1+(sinθ/cosθ)^2=8-4√3
1/(cosθ)^2=8-4√3
(cosθ)^2=1/(8-4√3)
(cosθ)^2=(2+√3)/4
1-(sinθ)^2=(2+√3)/4
1-(2+√3)/4=(sinθ)^2
(sinθ)^2=1-(2+√3)/4
(sinθ)^2=(2-√3)/4
(sinθ)^2=(4-2√3)/8
(sinθ)^2={(√3)-1}^2/8
(sinθ)^2=2{(√3)-1}^2/16
(sinθ)^2={(√6-√2)/4}^2
↓0≦θ≦180°,sinθ≧0だから
∴
sinθ=(√6-√2)/4
↓これを(1)に代入すると
(√6-√2)/4/cosθ=-2+√3
(√6-√2)/{4(-2+√3)}=cosθ
cosθ=(√6-√2)/{4(-2+√3)}
cosθ=(√2-√6)(2+√3)/4
∴
cosθ=-(√6+√2)/4
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