フーリエ級数展開がわかった後で、fとgの内積の定義を変えて(f,g)=(1/π)∫_{-π～π}f(

フーリエ級数展開がわかった後で、fとgの内積の定義を変えて(f,g)=(1/π)∫_{-π～π}f(x)g(x)dxにしたのですね。
しかし、なぜ内積(f,g)=∫_{-π～π}f(x)g(x)dx
の右辺に(1/π)を付け足せば、a(0)/2が導けるとわかったのでしょうか？

なるほど、e₀(x)=1/√2Lに関して、f(x)=(f(x), e₀(x))e₀(x)+(f(x), e₁(x))e₁(x)+(f(x), e₂(x))e₂(x)+(f(x), e₃(x))e₃(x)+(f(x), e₄(x))e₄(x)+…を導いてから式の一部(f(x), e₀(x))e₀(x)から1/√2Lを導いたのですね！
ただ、
「(f(x), e₀(x))e₀(x)=a0/2
(f(x), e₀(x))=e₀(x)∫_{-L～L}f(x)dx
a0=(1/L)∫_{-L～L}f(x)dx」に関して、
(f(x), e₀(x))からe₀(x)∫_{-L～L}f(x)dxをどうやって導いたのでしょうか？
また、「(f(x), e₀(x))e₀(x)=a0/2
(f(x), e₀(x))=e₀(x)∫_{-L～L}f(x)dx
a0=(1/L)∫_{-L～L}f(x)dx」から
どうやってa0=(1/L)∫_{-L～L}f(x)dxと導いたのでしょうか？

また、a0L=∫_{-L～L}f(x)dx
(f(x), e₀(x))=a0Le₀(x)
a0/2=(f(x), e₀(x))e₀(x)=a0L{e₀(x)}^2
a0/2=a0L{e₀(x)}^2
1/2=L{e₀(x)}^2
L{e₀(x)}^2=1/2
{e₀(x)}^2=1/2Lの部分のa0/2=(f(x), e₀(x))e₀(x)=a0L{e₀(x)}^2のa0L{e₀(x)}^2はどうやって導いたのでしょうか？
また、en(x)からどうやって{cos(nx),sin(nx)}を導いたのでしょうか？
最後に(a(n),b(n))=(f(x),en(x))en(x)より(a(n),b(n))からどうやって(f(x),en(x))en(x)を導いたのでしょうか？
また、

「内積を
(f,g)=∫_{-π～π}f(x)g(x)dx
と
したから
(α,α)=1
となるようなαを求めると
α=1/√(2π)

(βcos(nx),βcos(nx))=1
となるようなβを求めると
β=1/√π

(γsin(nx),γsin(nx))=1
となるようなγを求めると
γ=1/√π
だから
{1/√(2π),(1/√π)cos(nx),(1/√π)sin(nx)}
が正規直交基底になり
e₀(x)=1/√(2π)
e₁(x)=(1/√π)sin(x)
e₂(x)=(1/√π)cos(x)
e₃(x)=(1/√π)sin(2x)
e₄(x)=(1/√π)cos(2x)」となる
に関して、どうやって
α=1/√(2π)、β=1/√πを求めたのでしょうか？

最後に
(f,g)=∫_{-π～π}f(x)g(x)dx
と
定義すると
α=1/√(2π)
β=1/√π
γ=1/√π
の時
{1/√(2π),(1/√π)cos(nx),(1/√π)sin(nx)}
に関して、なぜ、
α=1/√(2π)
β=1/√π
γ=1/√πと置けば
{1/√(2π),(1/√π)cos(nx),(1/√π)sin(nx)}(フーリエ級数展開を求めるための一次結合の集合体)
と導けるとわかったのでしょうか？

質問者からの補足コメント

• 間違えました。
  毎回毎回すいません。どうやって、正規直交基底が必ず導ける様に
  (f(x),g(x))=1/π(∫[ーπ, π){f(x)・g(x)}dx)と内積を作り、{1/√(2), cosnx, sinnx}を作る事ができるのでしょうか？

    補足日時：2021/08/21 09:27

• 内積において、関数同士ではなく、 (f(x),e0(x))=e0(x)∫_{-L～L}f(x)dxなど 基底{e0,e1,e2...en}と関数f(x)と内積することで何がわかるのでしょうか？

    補足日時：2021/08/21 09:57

• 

  以前の
  
  「{cos(nx),sin(nx)}=en(x)」
  に関して
  申し訳無いのですが、{cos(nx),sin(nx)}からen(x)を導くまでをわかりやすく計算過程を経て教えて頂けないでしょうか。
  また、{cos(nx),sin(nx)}=en(x)は何を意味しているのでしょうか？

  
    補足日時：2021/08/22 04:53

• ちなみに、
  画像より、
  フーリエ級数展開は規定直交基底ではなく、直交基底からでも求められるのでしょうか？
  
  
  また、aj(ej,ej)はなぜ1になるのでしょうか？
  (ej,ej)が1になるのはわかりますが、値のわからないajがあるのに、答えが1になる理由がわかりません。
  もう少し詳しく教えてください。

  
    補足日時：2021/08/23 11:53

• また、画像の三つの式はどうやって作ったのでしょうか？
  どうか三つの式を導くまでの過程の式を教えて頂けないでしょうか？

  
    補足日時：2021/08/23 11:54

• すいません。もう一つ、なぜ画像の2つの{ }は直交基底だと分かったのでしょうか？

  
    補足日時：2021/08/23 12:19

• 内積の式を(f(x),g(x))= (1/π)(∫[ーπ, π){f(x)・g(x)}dx)と定義したとしても、正規直交基底であればフーリエ級数展開は導けるのでしょうか？
  仮に導けるとしたら正規直交基底を導くまでの計算過程を教えて頂けるとありがたいです。

    補足日時：2021/08/23 22:44

No.1 回答者： mtrajcp 回答日時： 2021/08/20 17:06

内積を

(f,g)=∫_{-π～π}f(x)g(x)dx
と
したから
(α,α)=1
とすると
fとgにαを代入すると

1
=(α,α)
=∫_{-π～π}(α^2)dx
=(α^2)∫_{-π～π}dx
=2πα^2

2πα^2=1
↓両辺を2πで割ると
α^2=1/(2π)
∴
α=1/√(2π)

(βcos(nx),βcos(nx))=1
とすると
fとgにβcos(nx)を代入すると

1
=(βcos(nx),βcos(nx))
=∫_{-π～π}{βcos(nx)}^2dx
={(β^2)/2}∫_{-π～π}{1+cos(2nx)}dx
={(β^2)/2}[x+sin(2nx)/(2n)]_{-π～π}
=πβ^2

πβ^2=1
↓両辺をπで割ると
β^2=1/π
∴
β=1/√π


(γsin(nx),γsin(nx))=1
とすると
fとgにγsin(nx)を代入すると

1
=(γsin(nx),γsin(nx))
=∫_{-π～π}{γsin(nx)}^2dx
={(γ^2)/2}∫_{-π～π}{1-sin(2nx)}dx
={(γ^2)/2}[x+cos(2nx)/(2n)]_{-π～π}
=πγ^2

πγ^2=1
↓両辺をπで割ると
γ^2=1/π
∴
γ=1/√π
-----------------------------
(定理)
区間[-π,π]で
任意の積分可能な関数
f(x)
に対して
a(n)=(1/π)∫_{-π～π}f(t)cos(nt)dt (n=0,1,2,3,…)
b(n)=(1/π)∫_{-π～π}f(t)sin(nt)dt (n=1,2,3,…)
と
定めると

f(x)=a(0)/2+Σ_{n=1～∞}{a(n)cos(nx)+b(n)sin(nx)}
と
フーリエ級数展開できる
---------------------------
という定理から

任意の実数α≠0,β≠0,γ≠0に対して
{α,βcos(nx),γsin(nx)}
が
基底となり
(フーリエ級数展開を求めるための一次結合の集合体)
となるのです
だから
α=1/√(2π)
β=1/√π
γ=1/√π
である必要は無いのです

この回答へのお礼

毎度毎度すいません。
{1/√2,cos(nx),sin(nx)}において、(f(x),e0(x))=(1/π)∫_{-L～L}とすることで正しいフーリエ級数展開を求められる計算ができるとなぜわかったのでしょうか？

お礼日時：2021/08/21 09:19

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2021/08/21 10:36

{1/√2,cos(nx),sin(nx)}

は
周期が2πの関数f(x)に関する基底なので
周期が2Lの関数f(x)に関する基底ではありません

(f(x),e0(x))=(1/π)∫_{-L～L}とするのは間違いです

周期が2πの関数f(x)
か
周期が2Lの関数f(x)
か
どちらにするのか
最初に決めなければいけません

No.3 回答者： mtrajcp 回答日時： 2021/08/21 11:15

(定理)--------------------------

区間[-π,π]で
任意の積分可能な関数
f(x)
に対して
a(n)=(1/π)∫_{-π～π}f(t)cos(nt)dt (n=0,1,2,3,…)
b(n)=(1/π)∫_{-π～π}f(t)sin(nt)dt (n=1,2,3,…)
と
定めると

f(x)=a(0)/2+Σ_{n=1～∞}{a(n)cos(nx)+b(n)sin(nx)}
と
フーリエ級数展開できる
---------------------------------
という定理から

任意の実数α≠0,β≠0,γ≠0に対して
{α,βcos(nx),γsin(nx)}
は
基底になるのです

f(x),g(x)の内積(f,g)は

任意の実数s≠0に対して
(f,g)=s∫_{-π～π}f(x)g(x)dx
と
いう形になるのです
この内積に対して

(α,βcos(nx))=0
(α,γsin(nx))=0
(βcos(mx),γsin(nx))=0
m≠n→(βcos(mx),βcos(nx))=0
m≠n→(γsin(mx),γsin(nx))=0
だから
{α,βcos(nx),γsin(nx)}
は
直交基底になるのです

(α,α)=1
とすると

1
=(α,α)
=s∫_{-π～π}(α^2)dx
=sα^2∫_{-π～π}dx
=2πsα^2

2πsα^2=1

α=1/√(2πs)

(βcos(nx),βcos(nx))=1
とすると

1
=(βcos(nx),βcos(nx))
=s∫_{-π～π}{βcos(nx)}^2)dx
={(sβ^2)/2}∫_{-π～π}{1+cos(2nx)}dx
={(sβ^2)/2}[x+sin(2nx)/(2n)]_{-π～π}
=πsβ^2

πsβ^2=1

β=1/√(πs)

(γsin(nx),γsin(nx))=1
とすると

1
=(γsin(nx),γsin(nx))
=s∫_{-π～π}{γsin(nx)}^2)dx
={(sγ^2)/2}∫_{-π～π}{1-cos(2nx)}dx
={(sγ^2)/2}[x-sin(2nx)/(2n)]_{-π～π}
=πsγ^2

πsγ^2=1

γ=1/√(πs)=β
γ=β

α=1/√(2πs)=β/√2

だから
β=1とすると
α=1/√2
s=1/π
となるから

f(x),g(x)の内積(f,g)は
(f,g)=(1/π)∫_{-π～π}f(x)g(x)dx
で
{1/√2,cos(nx),sin(nx)}
が
正規直交基底になるのです

(f(x),e0(x))=e0(x)∫_{-L～L}f(x)dx
の
基底e0(x)も定数関数1/√2です

e0(x)=1/√2
と名前をつけただけなので何もわかりません

No.4 回答者： mtrajcp 回答日時： 2021/08/22 04:58

{cos(nx),sin(nx)}からen(x)が導けません間違いです

f(x)の周期は2Lなので

{1,cos(nx),sin(nx)}は基底になりません

{1,cos(nπx/L),sin(nπx/L)}が基底になります

en(x)とは(正規直交)基底なのです

基底とはどの空間の基底なのかによって決まるものなのです
今は
2Lを周期にもつ周期関数f(x)の空間を扱っているのだから

基底は当然
2Lを周期にもつ周期関数でなければなりません

この回答へのお礼

要は「{cos(nx),sin(nx)}=en(x)」
は導けないのですね。間違いないなのですね。

お礼日時：2021/08/22 05:00

No.5 回答者： mtrajcp 回答日時： 2021/08/22 05:12

2Lを周期にもつ周期関数f(x)の空間を扱っている場合は

{cos(nx),sin(nx)}からen(x)が導けません間違いです

2Lを周期にもつ周期関数f(x)の空間を扱っている場合は

e_0(x)=1/√(2L)
e_{2n-1}(x)=(1/√L)sin(nπx/L)
e_{2n}(x)=(1/√L)cos(nπx/L)


2πを周期にもつ周期関数f(x)の空間を扱っている場合は

e_0(x)=1/√(2π)
e_{2n-1}(x)=(1/√π)sin(nx)
e_{2n}(x)=(1/√π)cos(nx)

この回答へのお礼

では、{cos(nx),sin(nx)}=en(x)を導ける条件にして、{cos(nx),sin(nx)}=en(x)を導くまでの過程の計算を教えてください。

お礼日時：2021/08/22 05:14

No.6 回答者： mtrajcp 回答日時： 2021/08/22 05:27

(定理)--------------------------

区間[-π,π]で
任意の積分可能な関数
f(x)
に対して
a(n)=(1/π)∫_{-π～π}f(t)cos(nt)dt (n=0,1,2,3,…)
b(n)=(1/π)∫_{-π～π}f(t)sin(nt)dt (n=1,2,3,…)
と
定めると

f(x)=a(0)/2+Σ_{n=1～∞}{a(n)cos(nx)+b(n)sin(nx)}
と
フーリエ級数展開できる
---------------------------------
という定理から

任意の実数α≠0,β≠0,γ≠0に対して
{α,βcos(nx),γsin(nx)}
は
基底になるのです

f(x),g(x)の内積(f,g)を

(f,g)=∫_{-π～π}f(x)g(x)dx

とすると

(α,βcos(nx))=0
(α,γsin(nx))=0
(βcos(mx),γsin(nx))=0
m≠n→(βcos(mx),βcos(nx))=0
m≠n→(γsin(mx),γsin(nx))=0
だから
{α,βcos(nx),γsin(nx)}
は
直交基底になるのです

(α,α)=1
とすると

1
=(α,α)
=∫_{-π～π}(α^2)dx
=sα^2∫_{-π～π}dx
=2πsα^2

2πα^2=1

α=1/√(2π)

(βcos(nx),βcos(nx))=1
とすると

1
=(βcos(nx),βcos(nx))
=∫_{-π～π}{βcos(nx)}^2)dx
={(β^2)/2}∫_{-π～π}{1+cos(2nx)}dx
={(β^2)/2}[x+sin(2nx)/(2n)]_{-π～π}
=πβ^2

πβ^2=1

β=1/√π

(γsin(nx),γsin(nx))=1
とすると

1
=(γsin(nx),γsin(nx))
=∫_{-π～π}{γsin(nx)}^2)dx
={(γ^2)/2}∫_{-π～π}{1-cos(2nx)}dx
={(γ^2)/2}[x-sin(2nx)/(2n)]_{-π～π}
=πγ^2

πγ^2=1

γ=1/√π
だから
{1/√(2π),(1/√π)cos(nx),(1/√π)sin(nx)}
が
正規直交基底になる
これを

1/√(2π),(1/√π)sin(x),(1/√π)cos(x),(1/√π)sin(2x),(1/√π)cos(2x),…
の
順に並べ

e_0(x),e_1(x),e_2(x),e_3(x),e_4(x),…

とすると

e_0(x)=1/√(2π)
e_{2n-1}(x)=(1/√π)sin(nx)
e_{2n}(x)=(1/√π)cos(nx)

となる

この回答へのお礼

後は、書いて頂いた各式から{cos(nx),sin(nx)}=en(x)が求められるわけですね？
良ければ
e_0(x)=1/√(2π)
e_{2n-1}(x)=(1/√π)sin(nx)
e_{2n}(x)=(1/√π)cos(nx)から{cos(nx),sin(nx)}=en(x)を求めるまでを書いて頂けないですしょうか？

お礼日時：2021/08/22 11:38

No.7 回答者： mtrajcp 回答日時： 2021/08/22 15:57

{cos(nx),sin(nx)}=en(x)は間違いです

どこにそんな式がかいてあるのでしょうか?

この回答へのお礼

以前、回答者様がお書きになられました。

お礼日時：2021/08/23 11:30

No.8 回答者： mtrajcp 回答日時： 2021/08/23 11:39

{cos(nx),sin(nx)}=en(x)は間違いでした。

取り消します

No.9 回答者： mtrajcp 回答日時： 2021/08/23 15:42

「

規定直交基底
」
とは何ですか?そんな言葉はありません

aj(ej,ej)=aj
です
aj(ej,ej)=1にはなりません

基底が直交基底かどうかは
内積を定義しなければ直交かどうかはわからないのです
関数f(x)の周期が2πの場合
f(x),g(x)の内積(f,g)を

(f,g)=(1/π)∫_{-π～π}f(x)g(x)dx
と
定義すると

(α,βcos(nx))=0
(α,γsin(nx))=0
(βcos(mx),γsin(nx))=0
m≠n→(βcos(mx),βcos(nx))=0
m≠n→(γsin(mx),γsin(nx))=0
だから
{α,βcos(nx),γsin(nx)}
は
直交基底になるのです

α=1/2,β=1,γ=1とすると
{1/2,cos(nx),sin(nx)}は直交基底

α=1,β=1,γ=1とすると
{1,cos(nx),sin(nx)}は直交基底

-----------------------------------------------
関数f(x)の周期が2Lだから
---------------------------
(定理)
2Lを周期にもつ周期関数f(x)について

a(n)=(1/L)∫_{-L～L}f(x)cos(nπx/L)dx (n=0,1,2,…)
b(n)=(1/L)∫_{-L～L}f(x)sin(nπx/L)dx (n=1,2,…)
とすると

f(x)=a(0)/2+Σ_{n=1～∞}{a(n)cos(nπx/L)+b(n)sin(nπx/L)}

とフーリエ級数展開できる
-----------------------
という定理から

任意の実数α≠0,β≠0,γ≠0に対して
{α,βcos(nπx/L),γsin(nπx/L)}
が
基底となり

f(x),g(x)の内積(f,g)を

(f,g)=∫_{-L～L}f(x)g(x)dx
と
定義すると

(α,βcos(nπx/L))=0
(α,γsin(nπx/L))=0
(βcos(mπx/L),γsin(nπx/L))=0
m≠n→(βcos(mπx/L),βcos(nπx/L))=0
m≠n→(γsin(mπx/L),γsin(nπx/L))=0
だから
{α,βcos(nπx/L),γsin(nπx/L)}
は
直交基底になるのです

(α,α)=1とすると

1
=(α,α)
=∫_{-L～L}(α^2)dx
=α^2∫_{-L～L}dx
=2Lα^2

2Lα^2=1
α^2=1/(2L)
α=1/√(2L)

(βcos(nπx/L),βcos(nπx/L))=1とすると

1
=(βcos(nπx/L),βcos(nπx/L))
=∫_{-L～L}{βcos(nπx/L)}^2}dx
=(β^2/2)∫_{-L～L}{1+cos(2nπx/L)}dx
=(β^2/2)[x+Lsin(2nπx/L)/(2nπ)]_{-L～L}
=Lβ^2

Lβ^2=1
β^2=1/L
β=1/√L

(γsin(nπx/L),γsin(nπx/L))=1とすると

1
=(γsin(nπx/L),γsin(nπx/L))
=∫_{-L～L}{γsin(nπx/L)}^2}dx
=(γ^2/2)∫_{-L～L}{1-cos(2nπx/L)}dx
=(γ^2/2)[x-Lsin(2nπx/L)/(2nπ)]_{-L～L}
=Lγ^2

Lγ^2=1
γ^2=1/L
γ=1/√L

{1/√(2L),(1/√L)cos(nπx/L),(1/√L)sin(nπx/L)}
が
正規直交基底となり
これを
1/√(2L),(1/√L)sin(nπx/L),(1/√L)cos(nπx/L),…
の順に
e0,e1,e2,…
とすると

e_0(x)=1/√(2L)
e_{2n-1}(x)=(1/√L)sin(nπx/L)
e_{2n}(x)=(1/√L)cos(nπx/L)

となるのです

この回答へのお礼

ありがとうございます。
ちなみに、ちなみに、内積(f(x),g(x))= (1/π)(∫[ーπ, π){f(x)・g(x)}dx)を使い、{ }がどんな値であれ、正規直交基底ならば、必ずフーリエ級数展開を導けるのでしょうか？
また、内積の式を(f(x),g(x))= (1/π)(∫[ーπ, π){f(x)・g(x)}dx)と定義したとしても、正規直交基底であればフーリエ級数展開は導けるのでしょうか？
仮に導けるとしたらなぜ導けるのでしょうか。

お礼日時：2021/08/23 22:31

No.10 回答者： mtrajcp 回答日時： 2021/08/24 03:49

訂正です

任意の実数s≠0,α≠0,β≠0,γ≠0に対して

f(x),g(x)の内積(f,g)を

(f,g)=s∫_{-π～π}f(x)g(x)dx
と
定義すると

(α,βcos(nx))=0
(α,γsin(nx))=0
(βcos(mx),γsin(nx))=0
m≠n→(βcos(mx),βcos(nx))=0
m≠n→(γsin(mx),γsin(nx))=0
だから
{α,βcos(nx),γsin(nx)}
は
直交基底になるのです

-----------------------------
(定理)
区間[-π,π]で
任意の積分可能な関数
f(x)
に対して
a(n)=(1/π)∫_{-π～π}f(t)cos(nt)dt (n=0,1,2,3,…)
b(n)=(1/π)∫_{-π～π}f(t)sin(nt)dt (n=1,2,3,…)
と
定めると

f(x)=a(0)/2+Σ_{n=1～∞}{a(n)cos(nx)+b(n)sin(nx)}
と
フーリエ級数展開できる
---------------------------
という定理から
フーリエ級数展開を導けるのであって

正規直交基底であるからではありません

この回答へのお礼

すいません。
ありがとうございます。
(f(x),g(x))= (1/π)(∫[ーπ, π){f(x)・g(x)}dx)からでもフーリエ級数展開は導けるという事でしょうか？
本では正規直交基底からでないとフーリエ級数展開は導けないと書いてあったのですが。

ちなみに
なぜ∫[ーπ, π){a・a}dx)はllall^2と置けるのでしょうか？

お礼日時：2021/08/24 05:37