No.5
- 回答日時:
一応解説しておくと
ラグランジュの未定乗数法は
関数の独立変数を拘束条件で縛って自由度を減らした時の
停留点を求めるのに使う。
この時、自由度を逆に増やしつつ、拘束条件付関数を
拘束条件無しの関数に変換する所が
ラグランジュの未定乗数法の旨味。
不等式の範囲は拘束条件ではないので
ラグランジュの未定乗数法は使えません。
範囲の境界上に停留点がありそうなら話は別だけど
この質問では範囲が境界を含んでないので
最大、最小に境界は係われません。
従って普通に gradf=0 の点を求めて評価するだけ。
No.3ベストアンサー
- 回答日時:
この問題の場合、ラグランジュの未定数乗法は関数 F(x,y) の境界
G(x,y)=0 上の極値を求める方法です。
したがって、今回は x+y-π=0, x=0 , y=0 で囲まれた領域の内部
ですから、領域に境界はなく、内部なので不通に2変数の極値で求
められます。さらに、領域の内部の微分可能な関数の極値は最大最
小でもある。
つまり、今回は2変数関数の極値を求める問題となる。すると
F(x,y)=sin(x/2)sin(y/2)cos((x+y)/2)
x>0, y>0 , x+y<π・・・・①
として、
Fx=(1/2)cos(x+(y/2))sin(y/2)=0
→ x+(y/2)=π/2+nπ または y/2=mπ
かつ
Fy=(1/2)cos(y+(x/2))sin(x/2)=0
→ x/2=n'π または y+(x/2)=π/2+m'π
このうち、①の範囲にあるものは m,n' は存在せず、n=m'=0 の
みだから
x+(y/2)=π/2 , (x/2)+y=π/2 → x=y=π/3・・・・②
となる。
この求めた極値の判別式は
Fxx=-(1/2)sin(x+(y/2))sin(y/2)=-1/4<0
Fyy=-(1/2)sin(y+(x/2))sin(x/2)=-1/4
Fxy=(1/2){-(1/2)sin(x+(y/2))sin(y/2)+(1/2)cos(x+(y/2))cos(y/2)}
=(1/4)cos(x+(y/2)+(y/2))=(1/4)cos(x+y)=-1/8
Δ=FxxFyy-Fxy²=1/16-(-1/8)²>0
したがって、②は極大、①において最大となる。
F(π/3,π/3)=(√3/2)²(1/2)=3/8
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