全統整数問題です。 aは1以上100以下の整数とする。 条件「a²を26で割った余りとaを26で割っ

全統整数問題です。
aは1以上100以下の整数とする。
条件「a²を26で割った余りとaを26で割った余りが等しい」·····(✩)を満たすようなaの個数をもとめよう。
(✩)は「a²－aは❶の倍数」·····(✩✩)と同値である。
さらにa²－a＝(a－1)aであり、a－1,aは連続する2つの整数であるから、(✩✩)「a²－aは❷の倍数」
と同値である。
以上のことから、(✩)は、「aを❷で割った余りが❸または❹」と同値である。ただし、❸＜❹とする。
したがって、1以上100以下の整数aのうち、a²を26で割った余りとaを26で割った余りが等しくなるようなaは、全部で■□個ある。
❶の解答群①26 ②28 ③38 ④40
❷の解答群①13 ②14 ③19 ④20
❶はわかったのですが、あとほかのところが分かりません。解説よろしくお願いしますm(_ _)m

No.2 回答者： usa3usa 回答日時： 2021/10/26 08:10

＞❶はわかったのですが、あとほかのところが分かりません。

解説よろしくお願いしますm(_ _)m

これなら、わかるかしら
さらにa²－a＝(a－1)aであり、a－1,aは連続する2つの整数であるから、
ーーーー
a²－aが偶数になるのは明らかなので、２６の倍数と言わなくても、１３の倍数という条件でも同じことなので、
ーーーー
(✩✩)「a²－aは１３の倍数」
と同値である。

No.1 回答者： mtrajcp 回答日時： 2021/10/25 20:45

a(1≦a≦100)は整数

条件「a^2を26で割った余りとaを26で割った余りが等しい」…(☆)
(☆)は「a^2-aは26の倍数」…(☆☆)と同値である
さらにa^2-a=(a-1)aであり,a-1,aは連続する2つの整数であるから
(☆☆)「a^2-aは13の倍数」と同値である
以上のことから,(☆)は,
「aを13で割った余りが0または1」と同値である
したがって
1≦a≦100の整数aのうち
a^2を26で割った余りとaを26で割った余りが等しくなるような
aは

1,
13,14
26,27
39,40
52,53
65,66
78,79
91,92

の
15個ある