高一数学二次関数 なぜx²－2xをtと置いた後、値の範囲を求めるのか分かりません。 仮に式がx²－4

高一数学二次関数
なぜx²－2xをtと置いた後、値の範囲を求めるのか分かりません。
仮に式がx²－4x－1だとしても
同じ未知数xを使っていることに代わりはないと思っています。

xとは違い、x²－2xは二次関数で
取れる値の範囲のが分かるからですか？

質問者からの補足コメント

• これも解き方が同じ問題で
  (１)みたいな条件書かれていない問題なのですが、この場合はどう解くのですか？

  
    補足日時：2021/10/28 19:54

No.3 ベストアンサー 回答者： kairou 回答日時： 2021/10/28 20:30

f(x)=(x²-2x+3)²-2(x²-2x+3)-1 で、

x²-2x+3=t と置くと
t=x²-2x+3=(x-1)²+2 ですから t≧2 となりますね。
又、元の式は、f(t)=t²-2t-1=(t-1)²-2 となります。
この式だけなら t=1 のとき 最小値になるのですが、
t≧2 ですから、t=2 のとき 最小値 (2-1)²-2=-1 です。
t=2 と云う事は x²-2x+3=2 と云う事ですから、x=1 となります。
で、初めの f(x) に式で x=1 なら f(1)=2²-4-1=-1 で
t と置いたときの値と 一緒になります。

上の画像とは 式が違うので 数字が違いますが、
考え方は 同じです。

この回答へのお礼

ありがとうございます！

お礼日時：2021/10/29 10:23

No.4 回答者： mtrajcp 回答日時： 2021/10/29 10:17

f(x)=(x^2-2x+3)^2-2(x^2-2x+3)-1

↓x^2-2x+3=(x-1)^2+2だから
f(x)={(x-1)^2+2}^2-2{(x-1)^2+2}-1
f(x)=(x-1)^4+4(x-1)^2+4-2(x-1)^2-4-1
f(x)=(x-1)^4+4(x-1)^2-2(x-1)^2+4-4-1

f(x)=(x-1)^4+2(x-1)^2-1…(1)

(x-1)^4≧0
2(x-1)^2≧0
だから
(x-1)^4+2(x-1)^2≧0
↓両辺に-1を加えると
(x-1)^4+2(x-1)^2-1≧-1
↓(1)から
f(x)=(x-1)^4+2(x-1)^2-1≧-1
∴
x=1の時最小値-1

この回答へのお礼

ありがとうございます！

お礼日時：2021/10/29 10:22

No.2 回答者： kairou 回答日時： 2021/10/28 18:58

何故？ って、

「t=x²-2x と置いて 答えなさい」と云う問題だからです。

この回答へのお礼

ありがとうございます！

お礼日時：2021/10/29 10:24

No.1 回答者： mtrajcp 回答日時： 2021/10/28 16:31

t=x²－2xとおくとき,tのとり得る値の範囲を求めよ

という問題だから問題の求めに応じて

x²－2xをtと置いた後、値の範囲を求めているのです

この回答へのお礼

ありがとうございます！

お礼日時：2021/10/29 10:24