数学の問題について

次の問題の答えと解き方を教えてください。

初項から第 ｎ 項までの和 S_n が S_n = 2a_n -n (n=1,2,3,...) を満たす数列 {a_n} について,次の問に答えよ。

1) a_(n+1) (n=1,2,3,...) を a_n で表す式を求めよ。

2) a_10 の値を求めよ。

3) 数列 {b_n} の一般項を b_n = 2^(n(n-1)/2) とするとき, Σ[k=1,10] a_k b_k の値を求めよ。

No.3 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2021/11/07 05:12

1)

a_(n+1)=2a_n +1
a_(n+1)=a_n+2^n

2)
a_n=(2^n)-1
a_10=(2^10)-1=1023

3)
b_n=2^{n(n-1)/2}

Σ_{k=1～10}(a_k)(b_k)
=Σ_{k=1～10}{(2^k)-1}2^{k(k-1)/2}
=Σ_{k=1～10}(2^{k+k(k-1)/2}-2^{k(k-1)/2})
=Σ_{k=1～10}(2^{k(k+1)/2}-2^{k(k-1)/2})
=Σ_{k=1～10}2^{k(k+1)/2}-Σ_{k=1～10}2^{k(k-1)/2}
=Σ_{n=2～11}2^{(n-1)n/2}-Σ_{k=1～10}2^{k(k-1)/2}
=Σ_{k=2～11}2^{k(k-1)/2}-Σ_{k=1～10}2^{k(k-1)/2}
=2^{11(11-1)/2}-2^{1(1-1)/2}
=(2^55)-1
=36028797018963967

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2021/11/07 04:44

1)

a_(n+1)=2a_n +1

2)
a_1=S_1=2a_1-1
a_1=2a_1-1
1=a_1
a_2=2a_1+1=3
a_n=2a_(n-1) +1
a_(n+1)=2a_n +1
a_(n+1)-a_n=2{a_n-a_(n-1)}
c(n)=a_(n+1)-a_nとすると
c(1)=a_2-a_1=3-1=2
c(n)=2^n
a_(n+1)-a_n=2^n
Σ_{k=1～n}{a_(k+1)-a_k}=Σ_{k=1～n}2^k
a_(n+1)-a_1=2^(n+1)-2
a_(n+1)-1=2^(n+1)-2
a_(n+1)=2^(n+1)-1

a_n=(2^n)-1

a_10=(2^10)-1=1023

No.1 回答者： mtrajcp 回答日時： 2021/11/06 11:21

S_n=2a_n-n (n=1,2,3,…)…(1)

(1)でnをn+1に置き換えると
S_(n+1)=2a_(n+1)-n-1…(2)

S_(n+1)=a_(n+1)+S_n
↓S_nに(1)を代入すると
S_(n+1)=a_(n+1)+2a_n-n
↓これと(2)から
2a_(n+1)-n-1=a_(n+1)+2a_n-n
↓両辺にn+1-a_(n+1)を加えると
∴
a_(n+1)=2a_n +1