質問失礼します。 積分に関する問題ですが、この式を証明する方法が思いつきません。ご教授頂けると幸いで

質問失礼します。
積分に関する問題ですが、この式を証明する方法が思いつきません。ご教授頂けると幸いです。

No.3 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2021/12/26 20:28

これは、アクロバットのような方法を使うので有名です。

まずは
　I = ∫∫[-∞→∞]e^[-(x^2 + y^2)]dxdy
という二重積分を考えます。(x、y とも積分範囲は[-∞→∞]）

これを極座標に変換すると
　x = r*cosθ, y = r*sinθ
で、r:0→∞、θ:0→2π　で積分することになります。

被積分関数は
　e^[-(x^2 + y^2)] ＝ e^(r^2)
また、ヤコビアンは
　|(∂x/∂r)(∂y/∂θ) - (∂y/∂r)(∂x/∂θ)| = r
なので
　dxdy = rdrdθ
であり

I ＝ ∫∫[-∞→∞]e^[-(x^2 + y^2)]dxdy
　= ∫[0→2π]{∫[0→∞]re^[-(r^2)]dr}dθ
　= 2π∫[0→∞]re^[-(r^2)]dr

ここで、t = e^[-r^2] とおくと
　dt = -2re^[-r^2]dr　→　re^[-r^2]dr = -(1/2)dt
　t:1→0
なので
　∫[0→∞]re^[-(r^2)]dr
= ∫[1→0](-1/2)dt
= (1/2)∫[0→１]dt
= 1/2

以上より
　I = ∫∫[-∞→∞]e^[-(x^2 + y^2)]dxdy = π　　　　①
になります。

一方、
　e^[-(x^2 + y^2)] = e^(-x^2)･e^(-y^2)
なので
　I = ∫∫[-∞→∞]e^(-x^2)･e^(-y^2)]dxdy
　　= ∫[-∞→∞]{e^(-x^2)･∫[-∞→∞]e^(-y^2)dy}dx　　　②　　
かつ
　　= ∫[-∞→∞]{e^(-y^2)･∫[-∞→∞]e^(-x^2)dx}dy　　　③
ここで、
　∫[-∞→∞]e^(-x^2)dx = N　　　④
とすれば、変数名を変えただけなので
　∫[-∞→∞]e^(-y^2)dy = N　　　⑤
であり、②③④⑤より
　I = N^2
ということになります。
　
以上より、①から、N>0 なので
　N = ∫[-∞→∞]e^(-x^2)dx = √π
となり、被積分関数が偶関数であることから
　N = 2∫[0→∞]e^(-x^2)dx = √π
よって
　∫[0→∞]e^(-x^2)dx = (√π)/2
となります。

この回答へのお礼

とんでもなく難しい方法を使用するのですね…
ご回答ありがとうございました！！

お礼日時：2021/12/29 23:32

No.2 回答者： stomachman 回答日時： 2021/12/26 19:58

問題の積分を2乗したものを考える、というのがトリック。

　(∫{0〜∞}(e^(-x^2)) dx)^2
　　= ∫{0〜∞}(e^(-x^2)) dx ∫{0〜∞} (e^(-y^2)) dy
　　= ∫{0〜∞}∫{0〜∞} (e^(-x^2))(e^(-y^2)) dx dy
　　= ∫{0〜∞}∫{0〜∞} e^(-(x^2+y^2)) dx dy
これを極座標(r,θ)に変換するんです。すると
　　∫{0〜∞}r (e^(-r^2)) dr
ならt=r^2の置換で簡単。

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2021/12/26 02:15

ほい.

https://risalc.info/src/gaussian-integral.html