ベクトル

なぜ1になるのかが分かりません。解説に点Qが直線BC上にある条件はベクトルABとベクトルACの係数の和が1であると書かれていますが分かりません。教えてください。

No.3 ベストアンサー 回答者： tknakamuri 回答日時： 2022/01/08 19:12

QがBCをm:nで内分する点とすると

AQ→=q
AB→=b
AC→=c

とすれば

q=a+{m/(m+n)}(b-a)={n/(m+n)}a + {m/(m+n)}b

aとbの係数=k1、k2 とすると

k1=n/(m+n)、k2=m/(m+n)
k1+k2=1

これ、ベクトルで図形を扱う時の基本のキ あたりで
教科書にじっくり説明が載ってる筈。
直線BCの方程式をaとbを使ってすっと書けるように
なってないと殆ど何も解けない。

教科書を良く読もう。

No.4 回答者： tknakamuri 回答日時： 2022/01/08 19:22

記号がズレてたので訂正

q=b+{m/(m+n)}(c-b)={n/(m+n)}b + {m/(m+n)}c

bとcの係数をk1、k2 とすると

k1=n/(m+n)、k2=m/(m+n)
k1+k2=1

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/01/08 17:08

↑AQ=(k/6)↑AB+(5k/12)↑AC…③

点Qは辺BC上の点だから

↑BQ=t↑BCとなる実数tがある

↑BQ=↑AQ-↑AB
↑BC=↑AC-↑AB
だから

↑AQ-↑AB=t(↑AC-↑AB)

両辺に↑ABを加えると

↑AQ=↑AB+t(↑AC-↑AB)
↑AQ=↑AB+t↑AC-t↑AB
↑AQ=↑AB-t↑AB+t↑AC
↑AQ=(1-t)↑AB+t↑AC

↓これと③は等しいから

(k/6)↑AB+(5k/12)↑AC=(1-t)↑AB+t↑AC

両辺に-(1-t)↑AB-(5k/12)↑ACを加えると

{(k/6)-(1-t)}↑AB={t-(5k/12)}↑AC

↑ABと↑ACは1次独立だから

(k/6)-(1-t)=0
t-(5k/12)=0

k/6=1-t
5k/12=t

∴
(k/6)+(5k/12)=(1-t)+t=1

No.1 回答者： masterkoto 回答日時： 2022/01/08 17:00

内分点の公式利用です

内分点の公式から　
QがBC上にありBQ:CQ=m:nなら
ベクトルの矢印は省略
AQ=(nAB+mAC)/(m+n)
={n/(m+n)}AB+{m/(m+n)}AC

係数の和は１でしょ！

外分公式でも同じこと

ゆえにm,nが任意でも係数の和が１ならQは分点となり
直線BC上に来るのです

詳しくはテキスト参照