流体力学でわからないことが

こんばんは、ヤフー掲示板にも同様の質問をしています。
重複質問をお許しください。


日野幹雄著　流体力学　の中で、
ラグランジュ微分について書かれている部分でわからないことがあります。

以下に書かれている内容と、疑問点を書きますので、御教授願います。

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p33より、

ラグランジュ流を考えて、
時刻tにおける流体粒子の位置を（座標x, y, zと区別するために大文字を用いて）X(t), Y(t), Z(t)と表すと、
一つの流体粒子の持つ特性量f（密度など）の時間変化は、数学的に、

d/dt { f (X(t), Y(t), Z(t), t) } = (∂f/∂t) + (∂f/∂X) (dX/dt) + (∂f/∂Y) (dY/dt) + (∂f/∂Z) (dZ/dt)

と表される。ところが、流体粒子の位置の時間変化は
その点 X(t)=(x, y, z, t)での流速
（このX(t)は、位置を表すベクトルと思います。ボールドで書いてあるので・・・）


dX/dt=u(x, y, z, t)
dY/dt=v(x, y, z, t)
dZ/dt=w(x, y, z, t)


であり・・・
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疑問点は以下の通りです。

最初、時刻tにおける流体粒子の位置をX(t), Y(t), Z(t)と示していますが、
それを時間微分したときに得られる各成分の速度は、
なぜx, y, zなどの位置の関数となるのでしょうか？
時刻tのみの関数とならない理由が分りません。

基本的なことかと思いますが、おしえてください。

No.3 ベストアンサー 回答者： KENZOU 回答日時： 2005/03/19 22:29

>日野幹雄著　流体力学

この本は持っていないので記号の意味がどのように書かれているのか分かりませんが、
＞dX/dt=u(x, y, z, t)　　　　(1)
＞dY/dt=v(x, y, z, t)　　　　　
＞dZ/dt=w(x, y, z, t)
の右辺は単にx,y,z,などの位置関数という意味だけでなく、固定座標(x,y,z)から見た場合の点(x,y,z)、時刻tに於ける流体の速度のx,y,ｚ成分を意味しているのではないでしょうか。
Lagrageの流体を扱う方法は粒子的な立場をとります。つまり、ある時刻ｔに点Aにあった流体の小部分（流体粒子）に注目し、その流体粒子の動きを追いかけていく立場をとります。点Aにあった物質の座標をξとするとこれは時間の関数ですから
　ξ(t)=ξ(X(t),Y(t),Z(t))とかけます（ξはベクトル量）。
時刻dt後に流体粒子が点Bに移動したとし、その位置をξ(t+dt)=ξ(X(t+dt),Y(t+dt),Z(t+dt))とするとξ(t+dt)とξ(t)の差はdtに比例すると考えられます。したがってLagrangeの立場での流体の速度は　
　(ξ(t+dt)-ξ(t))/dt　(2)
となります。
一方、座標系を固定しておいて、いつ、どこの点を、流体がどのような速さで走っているかを記述巣する立場がEulerの方法と言われます。この立場からすると流速をζとすれば
　ζ=ζ(u,v,w)　(3)
流速はどちらの立場で見ても当然一致しますから(2)の各成分は(3)の各成分と等しい。これがElectricGamoさんの言われている
＞「流体粒子に乗っている立場から見た速度」と「ある固定座標から見た際の流体粒子の位置における流れの速度」が等しいことを示しています。
ということと思います。尚、この辺りの議論は今井功著「流体力学(前編）」物理学選書14（裳華房）に詳しく書かれていますので一度図書館でご覧になられてはいかがでしょうか。

No.4 回答者： nana_fuka 回答日時： 2005/03/26 09:22

川をイメージして見てください。

そして、その上に蓋をします。さらに蓋に小さな窓穴を空けます。その窓から川を覗き見たときの川の速度について考えてみます。このときの川の速度はどのようにして測るでしょうか？たとえば小さな浮きを上流（左）から流し、窓の左端を通過した時間t1と右端を通過した時間t2を計測し、その時間差と窓の幅から速度uを求めることができます。ここで座標系を持ち出すならば、浮きの動きは窓に固定した座標系で記述でき,窓の左端位置Ｘ(t1),右端位置Ｘ(t2)を使って、
u={Ｘ(t2)-Ｘ(t1)}/(t2-t1)
となります。窓の大きさを無限小とすれば微分となることに疑問はないでしょう。

＞「流体粒子に乗っている立場から見た速度」と「ある固定座標から見た際の流体粒子の位置における流れの速度」が等しいことを示しています。

とありますが、なぜ同じになるのでしょうか？
＞
とありますが、「流体粒子に乗っている立場から見た速度」ではなく、流体粒子の位置を時間とともに追いかけたときの速度、あるいは時間を変数として記述したときの速度、という表現のほうがわかりやすいと思います。さらに、その窓での流体粒子の速度を計測しようとすれば、前述したような流体粒子の位置を追いかけて計測する以外になく、両者が”同じ”というより、流体粒子の位置を追いかけて計測した速度を、その窓でみた流速として”定義”している、ということです。
　そして、窓がひとつではなく、いろいろな場所にある場合について考えると流速uは窓の位置xの関数として表現できます。このとき浮きはひとつではなく、各窓にそれぞれひとつの浮きがあって、その速度を計測していることになります。
　ちなみに、各位置での浮きの加速度を、位置で定義された速度uを使って表現しようとするときに、
d/dt { f (X(t), Y(t), Z(t), t) } = (∂f/∂t) + (∂f/∂X) (dX/dt) + (∂f/∂Y) (dY/dt) + (∂f/∂Z) (dZ/dt)
の式が必要となります。

No.2 回答者： abyssinian 回答日時： 2005/03/18 18:03

　ぜんぜん詳しくないんだけど、流れ(u,v,w,t)に乗ってる座標系でのラグランジュ微分って確か、

　D/Dt = (∂/∂t)+(u∂/∂x)+(v∂/∂y)+(w∂/∂z)
ですからこれをX(t)に作用させてるとか（思いっきり外してたらご免なさい）
　あの、知恵袋の方でどんなレスが付いてるのか、興味があって見に行ったんだけど、見あたりませんでした。もう消えてしまったんですか。

この回答へのお礼

確かにラグランジュ微分は
D/Dt = (∂/∂t)+(u∂/∂x)+(v∂/∂y)+(w∂/∂z)
であらわされますね。
X(t)に作用させてるとはどういうことでしょうか？

DX(t)/Dtを考えてるということでしょうか？

私が質問した内容は、ラグランジュ微分という考えが出てくる課程のことでして、
私もよくわかっていないので、これ以上わかりません。

あと、知恵袋ってなんですか？
ここの掲示板全然分らないので・・・

お礼日時：2005/03/18 19:57

No.1 回答者： ElectricGamo 回答日時： 2005/03/18 00:57

dX(t)/dt=u(x,y,z,t)とは

　「流体粒子に乗っている立場から見た速度」と「ある固定座標から見た際の流体粒子の位置における流れの速度」が等しいことを示しています。

別の言い方をすれば、左辺が粒子を中心としたラグランジュ的な見方で、時刻だけを指定すれば速度は分かるのに対し、右辺は固定座標を基準としたオイラー的な見方で、流体粒子のいる場所と時刻を指定しないと速度は分からないということを示しています。そして、それぞれの見方で捉えた速度は同じであるのでイコールで結べるということです。

ですので理由を挙げるなら、ラグランジュ的な見方からオイラー的な見方に切り替えたからということになります。

この回答への補足

ここの掲示板の使い方がよくわからないので、
お礼と重複してしまいますが、
具体的にまだ分からない点を以下に示します。

「流体粒子に乗っている立場から見た速度」と「ある固定座標から見た際の流体粒子の位置における流れの速度」が等しいことを示しています。

とありますが、
ある流体粒子を考えた場合に、その粒子が移動する軌跡は一つですよね？
にもかかわらず、固定座標系で考えた場合の速度と同じになるというのが分からないのです。

固定座標系で考えた場合には、任意の位置x, y ,z　での速度が求められるわけですが、
実際に流体粒子を考える場合には、一つの軌跡であるがゆえに任意の位置を考えることは不可能じゃないでしょうか？

なぜ、任意の位置での速度を考えることができるのでしょう？
dX(t)/dt=u(x,y,z,t)
のx, y, z　とは、注目する流体粒子が通る軌跡上の点のみが当てはまるのですか？

補足日時：2005/03/18 14:26

この回答へのお礼

ありがとうございます。

おっしゃってる意味はわかりました。

すごく基本的なことなのですが、

「流体粒子に乗っている立場から見た速度」と「ある固定座標から見た際の流体粒子の位置における流れの速度」が等しいことを示しています。

とありますが、なぜ同じになるのでしょうか？

その辺がよくわかりません。教えていただけると幸いです。

お礼日時：2005/03/18 08:35