3次方程式の解について

問題文 の式を FX とし fダッシュx の判別式が重解となる時 二重解になると思ったのですが違いますか ?
回答以外の解き方はできるのでしょうか?
わかりにくくてすみません

また X =-1の時で 場合分けをしていますが なぜですか

No.2 ベストアンサー 回答者： masterkoto 回答日時： 2022/02/04 15:22

3次方程式=f(x)とおくとx=-1代入の時

f(-1)=0となりますよね　
このことから　x=-1は確実にこの3次方程式の解であるといえます
そして因数定理で　f(x)を因数分解したときには(x-1)が因数の一つであることもわかります！
ということで　(x-1)でf(x）を割り算して因数分解実行です

次の焦点は
2重解がx=-1で　単独の解がx=αになるのか
それとも　x=-1は単独の解で　x=βが2重解になるのかという事です
ゆえに模範解答のように場合分けがなされます

そしてf'(x)=0の重解ですが
そもそも整数係数の3次式はグラフの概形がN字型をしています

f'(x)=0が2つの解を持つ(D>0)なら
増減表でf'(x)=0となる地点が2か所あり
その前後ではf'の表の欄がプラスからマイナス、またはマイナスからプラスに変わるといえるので
この場合は3次関数f(x)のグラフが極大と極小を持つという事が言えます

f'(x)=0が重解(D=0)だと
増減表でf'(x)=0となる地点が１か所あり
その前後ではf'の表の欄がプラスからプラスに、またはマイナスからマイナスになるといえるので　符号が変わらないことになります
いくら増減表でf'=0となってもその前後で符号が変わらなければそれは極値
にはならないので　f'=0が重解の場合は極値なしです

（無論　f'(x)=0となる実数解がなければ(D<0ならば）極値なしです）
f'(x)=0の判別式から分かることは以上です
f(x)の解の個数には直接的には結び付きません！！

No.3 回答者： masterkoto 回答日時： 2022/02/04 15:25

マスターことー

訂正
3次式=f(x)とおいて
f(-1)=0なら因数定理により
f(x)の因数は{x-(-1)}=(x+1)

No.1 回答者： kairou 回答日時： 2022/02/04 15:03

3次式の導関数を 0 とした時の 解が重根の場合は、

元の式の 極大・極小が 無いと云う事です。
元の式の 解とは 関係ありません。