基底ベクトル(正規直交基底、非正規直交基底)からフーリエ級数展開を導く上で式v=(v,e1)e1+(

基底ベクトル(正規直交基底、非正規直交基底)からフーリエ級数展開を導く上で式v=(v,e1)e1+(v,e2)e2を作りましたが、何のために作ったのでしょうか？
もちろん、フーリエ級数展開を導く上で必要なのだとは思いますが、なぜ必要なのかがわかりせん。
また、どのようにして式v=(v,e1)e1+(v,e2)e2を導いたのでしょうか？

どうかよろしくお願い致します。

No.1 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/03/21 17:17

v=(v,e1)e1+(v,e2)e2

の基底
{e1,e2}
は
R^2=(2次元実数ベクトル空間)
の
基底であって

フーリエ級数展開を行う
関数空間
C[-π,π]
の
基底ではありません

R^2は2次元空間だから
基底の要素数は2個で
{e1,e2}
であるのに対して

関数空間
C[-π,π]
は無限次元ベクトル空間だから
の
基底の要素数は無限個で
{e1,e2,e3,e4,…}
となります

だから
フーリエ級数展開を導く上で式v=(v,e1)e1+(v,e2)e2を作る事は間違いです

フーリエ級数展開は
「
定理)
2πを周期とする区分的連続周期関数f(x)について

f(x)=a(0)/2+Σ_{n=1～∞}{a(n)cos(nx)+b(n)sin(nx)}

a(n)=(1/π)∫_{-π～π}f(x)cos(nx)dx (n=0,1,2,…)
b(n)=(1/π)∫_{-π～π}f(x)sin(nx)dx (n=1,2,…)
が成り立つ
」
をつかって
フーリエ級数展開を導くのです

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/03/22 00:55

まあ、 f(x) = sin x + cos x だって L2 関数のうちだからね。

無限次空間の特定の元 v が 2 個の基底ベクトルの線型結合で表せる
場合だって、もちろんあるのだけれども。
フーリエ級数は「級数」っていうぐらいだから、一般的には無限個の和
になるものの話だってことぐらいは気づいたほうがいい。
そこまで説明しないといけないようだと、式の導出の説明を始めるところ
まで話がたどり着かない。

No.3 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/03/22 04:00

基底からフーリエ級数展開を導くのではありません

フーリエ級数展開から基底を導くのです

関数空間C[-π,π]
の
関数
f
が
フーリエ級数展開
できるとは
関数f
に対して

f(x)=a0α+a1(cosx)+b1(sinx)+…

となるような
a0,a1,b1,が存在することをいうのであって

関数f
に対して
fが

f(x)=a0α+a1(cosx)+b1(sinx)+…

となるような
a0,a1,b1,が存在するから
フーリエ級数展開できるから

{α,cos(nx),sin(nx)}
は
関数空間の基底といえるのです

{α,cos(nx),sin(nx)}
が
関数空間の基底
だと認めた時点で

関数空間C[-π,π]
の
関数f
に対して

f(x)=a0α+a1(cosx)+b1(sinx)+…

となるような
a0,a1,b1,が存在するから
関数
f
の
フーリエ級数展開
が
できると認めることになるのです

だから

基底からフーリエ級数展開を導くのではありません

フーリエ級数展開
が
できなければ

{α,cos(nx),sin(nx)}
が基底だといえないのです

フーリエ級数展開から基底を導くのです