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連続した5つの自然数の積が30240になるとき、この5つの自然数の和として正しいのは?という問題の解説で、3行目の「連続する5つの自然数の積に分解する場合、素因数の7はそのまま7とするしかない」とはどういう意味でしょうか?

「連続した5つの自然数の積が30240にな」の質問画像
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A 回答 (7件)

素因数 7 が含まれるには 5個の連続した自然数が


7 を含むか 14を含むかでしょう。
しかし14を含むと自然数が全部10以上なので
積が10万を超えるのは明らか。

従って5個の自然数は 7 を含むとするしかないです。

で、こんなこと考えなくても、ちょろっと計算すれば
済むので、素因数分解とか7を含むとかは不要だと思います。

4・5・6・7・8 は 32×35×8 なので 7千くらいだろうなという
あたりはつくので
多分その次の次あたりだろうと見当は付きます。

4・5・6・7・8 = 6720
5・6・7・8・9 = 6720/4×9 =1680×9 = 15120
6・7・8・9・10 = 15120/5×10 =3024×10 = 30240
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7 に関する考察もいいんだけれど、


そもそも 30240 を素因数分解するのがしんどい。

y = f(x) = x(x+1)(x+2)(x+3)(x+4) のグラフを考えてみる。
x = 0, -1, -2, -3, -4 で f(x) = 0 となる多項式関数だから、
y = f(x) のグラフの概形はすぐに描くことができ、
x > 0 で単調(増加)だと判る。 二分法が使えそうだ。

f(0) = 0 < 30240,
f(10) = 10・11・12・13・14 > 10^5 > 30240
は容易に気づくだろうから、これを初期値として
二分探索をしてみると、
f(5) = 5・6・4・8・9 = 15120 < 30240,
f(7) = 7・8・9・10・11 = 55,440 > 30240,
f(6) = 6・7・8・9・10 = 30240
となって、答え 6・7・8・9・10 が見つかる。

この解法は、掛け算だけで解くことができ、
素因数分解する必要がない。
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連続する5つの自然数の積を


(x-2)(x-1)x(x+1)(x+2)=30240とすると
(x^2-4)(x^2-1)x=30240
仮に計算し易いようにx=10から始めると
(x^2-4)(x^2-1)x=95040とオーバー
x=9では
(x^2-4)(x^2-1)x=55440とオーバー
x=8では
(x^2-4)(x^2-1)x=30240と  ok
連続する5つの自然数は、6,7,8,9,10
じゃあダメなの?
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画像にある通り 30240=2⁵x3³x5x7 ですね。


5つの数字の積で 7 が 1つだけと云う事は、
5つの数字の中に 1つだけ 7 の倍数がある と云う事です。
14 を含む 連続した5つの数字では 30240 を超えてしまいますから、
7 を含む 5つの数字 と云う事になりますね。
以上の事を 画像では「そのまま7とするしかない」と云っているのでは。
尚、連続する5つの自然数の和は、真ん中の数字の5倍になります。
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2≦x


と仮定すると
10<14≦7x
10≦7x-4
10<11≦7x-3
10<12≦7x-2
10<13≦7x-1
だから
30240<100000<(7x-4)(7x-3)(7x-2)(7x-1)7x≦30240
と矛盾するから
x=1
だから
素因数の7はそのまま7とするしかない
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7の2倍の14で割ると2160


連続するなら最低10

10×11×12×13×14=240240とオーバー

問題の答あるなら7は確定。

答は6×7×8×9×10で、あと足し算は省略。
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例えば2と掛け算すると14ですが


14を作ってしまうと
13は作れないので
131415などという並びはできません
ゆえに、連続の並びにするためには
1415161718
というように14を左端にするしかないのです
でも、17も作れません
ゆえに、14を作ってしまうと連続という条件が守れないのです

このような矛盾を回避するためには
7にはなにも掛け算しないで
7のままにしておこうという事になります
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