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- 回答日時:
詳細の議論は難しいので概略。
これは数列
x[n+1]=a x[n](1-x[n]) (a>0)
となる。この極限が収束するとすれば、y=x と
y=ax(1-x) ・・・・・①
のグラフの交点
x=ax(1-x) → x=0, 1-1/a
となり、x₁=0.3 のとき、この数列は x=1-1/a の周りを回る。つまり
収束するとすれば
x=1-1/a・・・・②
の点となる。
また、②の交点での①の傾きは
y'=a(1-2x) → y'(x=1-1/a)=-a+2
となる。
すると、図のように
a=2.5 → y'=-0.5・・・・・③
a=3.5 → y'=-1.5・・・・・④
となり、③のように、y'>-1 のとき (傾きが緩やか)は、②の交点
(x=y=1-1/a=0.6)に向かって収束する。
さらに、この点の傾きが -1 ならば、この交点の周りには、同じ所を
回るだけとなり、振動する。傾きが -1 より小さいなら (急なら)、こ
の回転の幅? が色々かわり、収束するかよくわからない。

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