「教えて!ピックアップ」リリース!

e^xの微分がe^xになる証明で、なぜlim(t→0)のとき、
(1+t)^(1/t)=eになるのですか?

「e^xの微分がe^xになる証明で、なぜl」の質問画像

質問者からの補足コメント

  • 証明の手順の写真です

    「e^xの微分がe^xになる証明で、なぜl」の補足画像1
      補足日時:2022/06/12 23:45

A 回答 (7件)

lim[n→∞](1+1/n)^n = lim[t→0](1+t)^(1/t)


の証明は既に示されているので

lim[n→∞](1+1/n)^n = e に関しては
ここがよさそう。

「自然対数の底(ネイピア数)の定義:収束することの証明」
https://manabitimes.jp/math/714
    • good
    • 0

個人的に私が好きな定義は...


log x = ∫[1,x](1/t)dt で log を定義すると、
log x は x > 0 の範囲で定義できて、単調増加になる。
単調増加だから逆関数が定義できるが、
y = log x ⇔ x = exp y で指数関数 exp を定義すると、
log の値域が実数全体だから exp は実数全体が定義域となる。
e = exp 1 で定数 e を定義する。
指数関数を a^x = exp(x log a) で定義すると、
exp x は e^x とも書ける 
...というもの。

この定義の下では、高校での e の定義
e = lim[n→∞] (1 + 1/n)^n は、
定理となり、証明が必要になる。
    • good
    • 0

高校の教科書では、それを e の定義にしていますねえ。


e の定義は、いろいろやり方があるのだけれど。
    • good
    • 0

そのサイトは間違いです(驚くほど多数のサイトがあつた)。



定義の前に、与式の収束を示さねばならない。 (1+1/n)^n の収束
はよく知られている。
    • good
    • 0

定義そのものだから

    • good
    • 0

1.


t>0 のとき
 lim[t→0] (1+t)^(1/t)=e・・・・①
とすると

-1<t<0 のとき、t=-s/(1+s) とおくと s=-t/(1+t) なので
 s>0 , s → 0 (t → 0)
となる。すると
 (1+t)^(1/t)=(1-s/(1+s))^(-1-1/s)=(1+s)^(1+1/s)
   =(1+s)^(1/s)・(1+s) → e

以上により、t>0 のとき、①が成立すれば、t<0 のときも
成立するから、t>0 のとき、①を示せばよい。

2.
まず
 lim[n→∞] (1+1/n)^n=e
を仮定する。

t → 0 だから、0<t<1 とする。このとき
 n≦1/t<n+1
となる自然数 nが存在する。このとき
 1/(n+1)<t≦1/n
であり、
 t → 0 のとき、n → ∞
となる。また
 (1+1/(n+1))^n < (1+t)^(1/t) < (1+1/n)^(n+1)
だから
 (1+1/(n+1))^n=(1+1/(n+1))^(n+1)/(1+1/(n+1)) → e
 (1+1/n)^(n+1)=(1+1/n)^n・(1+1/n) → e
を使うと、挟み撃ちにより①が示された。
    • good
    • 0

>なぜlim(t→0)のとき、


(1+t)^(1/t)=eになるのですか?

それがネイピア数 e の定義だからです。

https://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/category/othe …
    • good
    • 0

お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!

このQ&Aを見た人はこんなQ&Aも見ています


このQ&Aを見た人がよく見るQ&A

人気Q&Aランキング