e^xの微分がe^xになる証明で、なぜlim(t→0)のとき、 (1+t)^(1/t)=eになるので

e^xの微分がe^xになる証明で、なぜlim(t→0)のとき、
(1+t)^(1/t)=eになるのですか？

質問者からの補足コメント

• 証明の手順の写真です

  
    補足日時：2022/06/12 23:45

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2022/06/13 00:39

＞なぜlim(t→0)のとき、

(1+t)^(1/t)=eになるのですか？

それがネイピア数 e の定義だからです。
↓
https://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/category/othe …

No.2 回答者： endlessriver 回答日時： 2022/06/13 01:36

1.

t>0 のとき
　lim[t→0] (1+t)^(1/t)=e・・・・①
とすると

-1<t<0 のとき、t=-s/(1+s) とおくと s=-t/(1+t) なので
　s>0 , s → 0 (t → 0)
となる。すると
　(1+t)^(1/t)=(1-s/(1+s))^(-1-1/s)=(1+s)^(1+1/s)
　　　=(1+s)^(1/s)・(1+s) → e

以上により、t>0 のとき、①が成立すれば、t<0 のときも
成立するから、t>0 のとき、①を示せばよい。

2.
まず
　lim[n→∞] (1+1/n)^n=e
を仮定する。

t → 0 だから、0<t<1 とする。このとき
　n≦1/t<n+1
となる自然数 nが存在する。このとき
　1/(n+1)<t≦1/n
であり、
　t → 0 のとき、n → ∞
となる。また
　(1+1/(n+1))^n < (1+t)^(1/t) < (1+1/n)^(n+1)
だから
　(1+1/(n+1))^n=(1+1/(n+1))^(n+1)/(1+1/(n+1)) → e
　(1+1/n)^(n+1)=(1+1/n)^n・(1+1/n) → e
を使うと、挟み撃ちにより①が示された。

No.3 回答者： あいうたややたやあ 回答日時： 2022/06/13 03:20

定義そのものだから

No.4 回答者： endlessriver 回答日時： 2022/06/13 08:37

そのサイトは間違いです(驚くほど多数のサイトがあつた)。

定義の前に、与式の収束を示さねばならない。 (1+1/n)^n の収束
はよく知られている。

No.5 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/06/13 09:46

高校の教科書では、それを e の定義にしていますねえ。

e の定義は、いろいろやり方があるのだけれど。

No.6 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/06/13 18:55

個人的に私が好きな定義は...

log x = ∫[1,x](1/t)dt で log を定義すると、
log x は x > 0 の範囲で定義できて、単調増加になる。
単調増加だから逆関数が定義できるが、
y = log x ⇔ x = exp y で指数関数 exp を定義すると、
log の値域が実数全体だから exp は実数全体が定義域となる。
e = exp 1 で定数 e を定義する。
指数関数を a^x = exp(x log a) で定義すると、
exp x は e^x とも書ける　
...というもの。

この定義の下では、高校での e の定義
e = lim[n→∞] (1 + 1/n)^n は、
定理となり、証明が必要になる。

No.7 回答者： tknakamuri 回答日時： 2022/06/15 10:10

lim[n→∞](1+1/n)^n = lim[t→0](1+t)^(1/t)

の証明は既に示されているので

lim[n→∞](1+1/n)^n = e に関しては
ここがよさそう。

「自然対数の底（ネイピア数）の定義：収束することの証明」
https://manabitimes.jp/math/714