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一意分解環Aとその商体K対して原始多項式f(x),g(x)∈A[x]と0でないa,b∈Aに対して、af(x)=bg(x)をみたす時、両辺の係数の最大公約元は左辺はa、右辺はbとなるからa/bは単元である
という記載があったのですが、これについて、
①そもそもa/bてKの元で、Kは商体(体)だから可逆元なのでは?
②a,bが最大公約元だからa/bは単元である
のところが良く分かりません。
上記2点ご教授頂けますと幸いです。
よろしくお願いいたします。

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A 回答 (3件)


a/b は、可逆元であるばかりでなく、単元にもなっています。
その理由は②です。
任意の体で、全ての単元は可逆元でもあります。

f(x), g(x) は、原始多項式なので、既約多項式でもあります。
よって、f(x) の係数の最大公約元, g(x) の係数の最大公約元は
ともに 1 であり、 af(x) の係数の最大公約元は a、
bg(x) の係数の最大公約元は b になります。
af(x)=bg(x) より、af(x) の係数の最大公約元と
bg(x) の係数の最大公約元は「単元倍を同一視すると」等しい。
よって、a/b は単元です。
素因数分解の一意性が「単元倍を同一視すると」一意
という意味だったのを思い出しましょう。
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この回答へのお礼

ありがとう

丁寧な回答ありがとうございます!
また、質問させて頂いた際にはよろしくお願いいたします

お礼日時:2022/06/25 22:22

a,bが最大公約元だから


bはaの約元だから
a/bはAの元
aはbの約元だから
b/aはAの元
だから
a/bとその逆元b/aがともにAの元だから
a/bはAの単元である
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この回答へのお礼

ありがとうございます!

お礼日時:2022/06/26 21:14

a,bはAの要素だけれども


a/bはAの要素であるとは限りません

a,bが最大公約元だから
a/bはAの要素だから
a/bはAの単元である
といっているのです
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この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます!
a/bはAの要素として単元であるという部分に納得しました

お礼日時:2022/06/25 22:18

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