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FFT・PSDの縦軸は何を意味するのでしょう？

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  • 質問者：taka2002
  • 質問日時：
  • 回答数：2件

加速度計測の結果について、PSD（パワースペクトラムデンシティ）をかけた場合、その縦軸の意味を教えてください。
また、FFTとPSDはどういう違いが有るのでしょうか？
これまでは、周波数の分布のみに着目していました。
どなたか、わかりやすく教えてください。
よろしくお願いします。

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A 回答 (2件)

No.2ベストアンサー

  • 回答者： semi-zzz
  • 回答日時：

一般に加速度センサー信号の出力は電圧です。



縦軸は係数をかけていない状態では＃１さんがおっしゃるように計測した電圧の値を示しています。

よって、縦軸に物理的な意味を持たせるのには、電圧と加速度の間の換算係数をかけてやる必要があります。

フーリエ解析は時刻歴波形は正弦波の組み合わせで構成されるという仮定の下で計算を行っています。ＦＦＴの結果は横軸で示される周波数の正弦波の振幅を示しています。
電圧と加速度の換算係数をかけてやると、ＦＦＴの縦軸はその周波数成分を持つ加速度振幅を示しています。

ここで１つ問題があります。ＦＦＴはサンプリング周波数により分解能が変わります。ＦＦＴによる周波数分析は正確にいうと、離散値なので、ジャストの周波数のもをだけを表しているのではなく、ある範囲の周波数範囲にある成分を表しています。
このため分解能が変わると周波数範囲が変わり、同じ波形を分析しても振幅が変わります。
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そのため、周波数幅で振幅を基準化して、１Ｈｚあたりの振幅としたものがＰＳＤです。
ＰＳＤならサンプリング周波数が異なるデータ同士の比較ができます。

要はフーリエ振幅（ＦＦＴ）はサンプリング周波数・分解能により変わる値であり、ＰＳＤはそのようなことのないように周波数幅で基準化した値という差があります。

なお、２乗表示したものをパワースペクトルと呼び、それを周波数で基準化したものをＰＳＤと呼びますが、ＰＳＤは表示方法によって２乗した状態のあたいを表示（パワー表示）するときと、２乗した値の平方根を計算して表示することがありますので、使用する際には縦軸の表示方法については要注意です。
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この回答へのお礼

FFTとPSDは基本的には同じものであり、
PSDは1Hz毎の振幅であるということが解りました。
回答ありがとうございました。

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お礼日時：2005/04/01 22:53

No.1

  • 回答者： masudaya
  • 回答日時：

何についてFFTなどを掛けるかによって回答は異なると思いますが・・・



とりあえず,FFTは電圧や電流や振幅などを周波数分解したものというイメージです.
PSDはパワーなので,電圧,電流,振幅の２乗を周波数分解したものというイメージだと思います.
電圧や振幅の２乗といったのは,これらが,エネルギーに比例しているからです.
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

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お礼日時：2005/04/01 22:48

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Qフーリエ変換について教えてください

フーリエ変換をすると横軸が時間から周波数になるのはわかったのですが、縦軸が何になるのかわかりません。

一般的に縦軸はなにになるのでしょうか？

また横軸が時間で、縦軸が距離をフーリエ変換したら縦軸は何になるのでしょうか？

よろしくお願いします。

Aベストアンサー

時間関数をフーリエ変換すると結果は、その時間関数の周波数成分が
得られます。スペクトルとも言います。従って、縦軸は、周波数成分です。一般に複素数です。
大きさと偏角による表現もできます。
大きさの方は振幅特性、位相角の方は位相特性と呼ばれます。
画像のように空間座標の上の関数の場合には、フーリエ変換すると
空間周波数成分が得られます。横軸は、空間周波数（2次元）となります。
対象とする関数により結果はそれぞれ意味が異なります。
「一般に何になる」とは言えません。

＞横軸が時間で縦軸が距離の場合・・・
フーリエ変換の結果は、距離を表す時間関数の周波数成分です。

フーリエ変換の対象の関数は別に時間関数でなければならないということは
ありません。従って、フーリエ変換の結果は適用する人が解釈（定義）すれば
よいと思います。
たとえば、
時間関数をフーリエ変換し、その結果の絶対値の対数のフーリエ変換を
することもあります。これの結果には、発明者らがケプストラムという名前
をつけています。Cepstrum は　Spectrum から作った造語です。

時間関数をフーリエ変換すると結果は、その時間関数の周波数成分が
得られます。スペクトルとも言います。従って、縦軸は、周波数成分です。一般に複素数です。
大きさと偏角による表現もできます。
大きさの方は振幅特性、位相角の方は位相特性と呼ばれます。
画像のように空間座標の上の関数の場合には、フーリエ変換すると
空間周波数成分が得られます。横軸は、空間周波数（2次元）となります。
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＞横軸が...続きを読む

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　　　　　PSD:パワースペクトル密度[G^2/Hz]
　　　　　B:バンド幅[Hz]

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＞なお、Aは全振幅（複振幅）と理解しております。

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スペクトルとは、独立な成分それぞれについての強さをグラフにしたものです。
光の場合、光の種類を色で分類する事ができます。光といっても、その中に青はどれくらい、オレンジはどれくらいとそれぞれの色に応じて強さがあります。
光をそれぞれに分ける方法は、たとえばプリズムがあって、光をプリズムに通すといろいろな色にわかれてみえます。

ニュートンはプリズムを使った実験で有名です。一つ目のプリズムで光を分光し、赤と青の光を残して他の光を遮り、赤と青を二つ目のプリズムやレンズで一つにまとめました。その後でもう一度プリズムを通すと、いったんまとめたのにやはり赤と青しかでてこないのです。これから光の色の独立性（赤や青は、混ざらないものとして独立に扱って良い、ということ）がわかります。

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周波数解析をエクセルツール『フーリエ解析』で実施したいのですが・・
時刻歴を持った波形をエクセルのフーリエ解析にかけたところ以下のような結果が出ました。

時刻（s）波形（風速）（フーリエ結果）
0 0 4964.547892
0.01 0.016148 162.934386092482+757.485796541738i
0.02 0.024223 -176.671853947744+679.108499109482i
0.03 0.032297 -38.1198577747876+304.999881074942i
0.04 0.040371 -33.7184553866481+283.069540754i
0.05 0.047921 67.2878230094194+268.189434427773i
0.06 0.055471 -5.3340068659851+181.755877831686i
0.07 0.063021 43.7700366445313+188.325607658826i
0.08 0.070571 95.1628904739282+115.524911946043i
0.09 0.078121 79.1610244918527+286.809861194846i
0.1 0.084849 -20.9326884388047+207.486443103952i
0.11 0.091578 -10.0874722910491+176.517532576085i

この場合の結果をパワースペクトル密度にしたいのですが，
一番上が定常分で，事項以降が　ωt，2ωt，・・・ｎωtということに
なって，それぞれの実部^2+虚部^2の平方がスペクトルになると思いますが
これを横軸周波数のおなじみのグラフにするには横軸の周波数はどのよう
に考えればいいのでしょうか。
（たとえば2ωtの項の場合の周波数はいくらになる？）
また，風速のパワースペクトルの単位はどのようになるでしょう。
基本的な質問だと思います。とても恥ずかしいのですが，ご教授いただけますか。
もしかすると根本的な間違いをしている気もします・・

周波数解析をエクセルツール『フーリエ解析』で実施したいのですが・・
時刻歴を持った波形をエクセルのフーリエ解析にかけたところ以下のような結果が出ました。

時刻（s）波形（風速）（フーリエ結果）
0 0 4964.547892
0.01 0.016148 162.934386092482+757.485796541738i
0.02 0.024223 -176.671853947744+679.108499109482i
0.03 0.032297 -38.1198577747876+304.999881074942i
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Aベストアンサー

> これを横軸周波数のおなじみのグラフにするには横軸の周波数はどのように考えればいいのでしょうか。

例えば、256点のデータをエクセルで「フーリエ解析」したとします。結果も256点(#0～#255とします)出てきます。ただし、パワースペクトル（複素数の実部^2＋虚部^2）にすると、#1～#127と#255～#129は対称形になっていますから、実際には129点の結果になります。
さて周波数ですが、この#1は

　元のデータ256点の中に、ちょうど1周期現れる周波数

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具体的に、例えばデータ間隔が１秒で全256点の場合、#1の周波数は1/256Hz、#2の周波数は1/128Hzになります。

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Qフーリエスペクトルの振幅について

ある時間関数を離散フーリエ変換して得られるフーリエスペクトルの
振幅値について教えて下さい。

今想定している離散フーリエ変換の式は一般的なもので
Σ(k=0～N-1) f(k)exp(-2πkni/N)
を考えています。
また、離散フーリエ変換して得られるスペクトルは
√（Re^2+Im^2)
で計算します。

離散フーリエ変換を適用する関数を、
振幅1の直流、及び振幅1で周波数5[Hz]の正弦波とします。
（この2つの信号は別々の信号で合成されていません。）
サンプリング周波数を20[Hz]とした場合、
サンプリングして得られるデータ列はそれぞれ、
直流： 「1, 1, 1, 1」
正弦波： 「0, 1, 0, -1」
となると想定されます。
（正弦波をサンプリングする場合は位相が関わってきますが、
今回は気にしないで下さい。）

このデータ列に対して上記の離散フーリエ変換を適用した場合、
得られるフーリエスペクトルの振幅値はそれぞれ、
直流： 「4」（直流のフーリエスペクトルの振幅値値）
正弦波： 「2」（5[Hz]のフーリエスペクトルの振幅値）
となります。
（データ点数は上の通り4点）

ここで質問なのですが、
離散フーリエ変換して得られるスペクトルの振幅値から
元の関数の振幅値を求める場合、
フーリエスペクトルをサンプリングの総データ点数で割ることは
数学的に納得できます。
しかしこの例の場合、フーリエスペクトルを総データ点数で割ると、
直流： 「4 -> 1」
正弦波： 「2 -> 0.5」
となってしまい、直流は正しいのですが、
正弦波の元の振幅値を正確に求めることは出来ません。
フーリエスペクトルの振幅値から正弦波の振幅値を正しく求めるには、
「フーリエスペクトルの振幅値*2/データ点数」
としてやらなければいけません。

上記のことに関して、
なぜこのようになるのかを（2をかける理由を）教えて頂けないでしょうか。

ある時間関数を離散フーリエ変換して得られるフーリエスペクトルの
振幅値について教えて下さい。

今想定している離散フーリエ変換の式は一般的なもので
Σ(k=0～N-1) f(k)exp(-2πkni/N)
を考えています。
また、離散フーリエ変換して得られるスペクトルは
√（Re^2+Im^2)
で計算します。

離散フーリエ変換を適用する関数を、
振幅1の直流、及び振幅1で周波数5[Hz]の正弦波とします。
（この2つの信号は別々の信号で合成されていません。）
サンプリング周波数を20[Hz]とした場合、
サンプリングし...続きを読む

Aベストアンサー

離散フーリエ変換というのは、実質離散フーリエ級数展開なので、
フーリエ級数展開を考えます。

f(t) = a0/2 + Σ[n=1→∞] { an cos (nωt) + bn sin (nωt) }

f(t)の周期をTとして、ω=2π/Tです。

直流成分の振幅といっているのはこの第1項a0/2のことで、
サイン成分の振幅はbnのことです。

問題文の離散フーリエ変換の式

＞Σ(k=0～N-1) f(k)exp(-2πkni/N)

は複素フーリエ級数展開なのでオイラーの公式

cos nωt = [e^{inωt}+e^{-inωt}]/2
sin nωt = [e^{inωt}-e^{-inωt}]/2i = = -i [e^{inωt}-e^{-inωt}]/2

を使って書き直すと、

f(t) = a0/2 + Σ[n=1→∞] { ([an -i bn]/2) e^{nωt} + ([an +i bn]/2) e^{-inωt} }

an = a(-n), bn = -b(-n)の関係があるので、

cn = ([an -i bn]/2), c(-n) = ([an +i bn]/2)

と置くことができ、a0/2をc0と定義し直せば、

f(t) = Σ[n=-∞→∞] cn e^{nωt}

したがって、複素フーリエ係数が求めているのはcn = (an-ibn)/2で、その実数部はan/2、虚数部は-bn/2です。

こうなる理由は、サイン、コサインのときは正の整数だったnを複素数で取り扱うときにマイナス側に拡張したことで、同じ係数が＋側と-側にわかれたためです。

離散的な場合は和が-N/2～N/2の範囲の有限項で打ち切られ、
-N/2～0の範囲が一周期ずらされてN/2～Nになっています。

離散フーリエ変換というのは、実質離散フーリエ級数展開なので、
フーリエ級数展開を考えます。

f(t) = a0/2 + Σ[n=1→∞] { an cos (nωt) + bn sin (nωt) }

f(t)の周期をTとして、ω=2π/Tです。

直流成分の振幅といっているのはこの第1項a0/2のことで、
サイン成分の振幅はbnのことです。

問題文の離散フーリエ変換の式

＞Σ(k=0～N-1) f(k)exp(-2πkni/N)

は複素フーリエ級数展開なのでオイラーの公式

cos nωt = [e^{inωt}+e^{-inωt}]/2
sin nωt = [e^{inωt}-e^{-inωt}]/2i = = -i [e^{inωt}...続きを読む

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信号のパワースペクトル密度とエネルギースペクトル密度とは何なんですか？調べてみましたがよく分かりません。
それぞれの違いや関係についても知っている方いらっしゃいましたら、どうか教えてください。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

原理的な話をします．
まず，時間波形x(t)の絶対値の2乗|x(t)|^2を全時間範囲（－無限大<t<無限大）に渡って積分したものは，その波形の全エネルギーです．
一方，|x(t)|の全時間範囲に渡る積分値が存在するのなら，x(t)はフーリエ変換可能ですが，そのx(t)のフーリエ変換X(f)の絶対値の2乗｜X(f)|^2を全周波数範囲（－無限大<f<無限大）に渡って積分したものは，実はx(t)の全エネルギーになるという有名な定理(Parsevalの定理）があります．

ということは，このときの被積分関数｜X(f)|^2は単位周波数あたりのエネルギーを表していることになるでしょ．これ（｜X(f)|^2）がエネルギースペクトル密度と呼ばれるものです．

ところで，実世界の多くの波形（不規則波形など）は，無限の時間範囲に渡って存在するので，その全エネルギーは一般には無限大となり，上記のエネルギースペクトル密度は定義（計算）できません．

そこで，そのような波形に対しては，｜X(f)|^2を全周波数範囲（－無限大<f<無限大）に渡って積分するだけではなく，その積分値の時間平均を考えます．すなわち被積分関数｜X(f)|^2/2Tを時間範囲2T（-T<t<T）に渡って積分して，さらにTを無限大にした量を考えます．この量は，単位時間当たりのエネルギーを表しますから，パワーと呼ばれる単位を持ちます．これがパワースペクトル密度と呼ばれるものです．

衝撃波形などは，無限大の時間範囲に渡っては波形が存在しないので，エネルギースペクトル密度を求めることができます．一方不規則波形などは，上述のとおり，エネルギースペクトル密度を求めることはでなくて，代わりにパワースペクトルという量で議論する必要があります．

原理的な話をします．
まず，時間波形x(t)の絶対値の2乗|x(t)|^2を全時間範囲（－無限大<t<無限大）に渡って積分したものは，その波形の全エネルギーです．
一方，|x(t)|の全時間範囲に渡る積分値が存在するのなら，x(t)はフーリエ変換可能ですが，そのx(t)のフーリエ変換X(f)の絶対値の2乗｜X(f)|^2を全周波数範囲（－無限大<f<無限大）に渡って積分したものは，実はx(t)の全エネルギーになるという有名な定理(Parsevalの定理）があります．

ということは，このときの被積分関数｜X(f)|^2は単位周波数あたり...続きを読む

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＃プログラムの始めのｎ＝の行とDimの行の数字を適切に修正して使います。

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しかしデータが2の冪乗個でないとき。例えばN=5000くらいのときはデータを切り取って無理やりN=4096（=2^12)みたいな感じにすれば良いんですよね？
やっぱりその時って、N=5000で通常の離散フーリエ変換したときと周波数値に誤差が出ると思うのですが、それはどうやったら計算できるのでしょうか。。。

どなたかご教授していただければ幸いです。

Aベストアンサー

離散フーリエ変換は、信号が周期的であることを前提としています。
離散フーリエ変換でのデータ数Ｎは、離散時間信号の周期に当たります。変換の結果は線スペクトルとなります。
Ｎ＝５０００がその信号の１周期なのでしょうか。
もしそうならば、４０９６にすれば、誤差が大きくなるでしょう。
Ｎ＝５０００で変換すべきです。この場合にも高速アルゴリズムが
存在します。＃１の方のとおりです。
ＦＯＲＴＲＡＮの時代には、パッケージがありました。
ＮはＮ＝２＾ｍ＊３＾ｎ＊５＾ｋ＊７＾Ｌだったと思います。

もうひとつの考え方は、有限持続時間信号のフーリエ変換としての
適用です。これは、連続スペクトルとなります。データ数Ｎは
スペクトルの分解能に関係します。サンプリング周波数をＮで割った
ものが周波数分解能となります。
実際のデータよりも２倍程度のＮを使うことが多いと思います。
データ数が５０００ならば、Ｎは８１９２とし足りないデータには、
０を詰めます。これならば、２のべき乗のＮを選べます。
この場合、逆変換は周期的な拡張が行われることに注意が必要です。

離散フーリエ変換は、信号が周期的であることを前提としています。
離散フーリエ変換でのデータ数Ｎは、離散時間信号の周期に当たります。変換の結果は線スペクトルとなります。
Ｎ＝５０００がその信号の１周期なのでしょうか。
もしそうならば、４０９６にすれば、誤差が大きくなるでしょう。
Ｎ＝５０００で変換すべきです。この場合にも高速アルゴリズムが
存在します。＃１の方のとおりです。
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Aベストアンサー

時系列データの処理ならば

OutputData(n+1) = OutputData(n) + (InputData(n+1) - OutputData(n)) * dt / T

dt：データのサンプリング間隔
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でいけると思いますが、一次のパッシブなんで効果が薄いかも。（普通はベッセルかけるんでしょうけど、そこまではわからない）

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