積分の問題について

積分の問題について質問です。
次の積分を計算しなさい。積分記号下の |z − a| = r は，a を中心とする半径 r
の円に正の向きがつけられた閉曲線と約束する。
と言う問題で
(1)πi((e^-1)+e-2)
(2)16πi
になったのですが合っていますか？
間違ていれば解説お願いします。

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/07/09 19:42

(1) あってる。

1/(z^3 - z) の部分分数分解
(e^z + z)/(z^3 - z) = (e^z + z){ -1/z + (1/2)/(z+1) + (1/2)/(z-1) }
から、 被積分関数の留数は
z = 0 上で (e^0 + 0)(-1) = -1,
z = -1 上で (e^-1 - 1)(1/2) = (e^-1 - 1)/2,
z = 1 上で (e^1 + 1)(1/2) = (e + 1)/2.
|z| < π/2 は z = 0, -1, 1 を皆含むから、留数定理より
問題の閉路積分は = (2πi){ -1 + (e^-1 - 1)/2 + (e + 1)/2 } = πi(-2 + e^-1 + e).

(2) あってる。
被害積分関数の部分数分解
50z/(z^3 + 2z^2 - 7z + 4) = 50z/{ (z+4)(z-1)^2 }
　　　　　　　　　　　　= -8/(z+4) + 8/(z-1) + 10/(z-1)^2
より、留数は
z = -4 上で -8,
z = 1 上で 8.
|z-1| < 2 に含まれる特異点は z = 1 だけなので、留数定理より
問題の閉路積分は = (2πi){ 8 } = 16πi.

No.1 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/07/09 16:48

合っています