No.2ベストアンサー
- 回答日時:
No.1 です。
定数 a, b, β の条件をその都度場合分けしながらやってみましょう。
「高校」のカテだけど、これは「微分」が理解できないと先に進まないでしょう。
x(t) = a・e^(βt) + b・e^(-βt) ①
より
(1) 速度
v(t) = dx/dt = a・β・e^(βt) - b・β・e^(-βt) ②
(2) 加速度
d²x/dt² = dv/dt = a・β^2・e^(βt) + b・β^2・e^(-βt)
= β^2・[a・e^(βt) + b・e^(-βt)] ③
= β^2・x
(3) ①より、x(t1) = 0 となる t1 は
x(t1) = a・e^(β・t1) + b・e^(-β・t1) = 0 ④
(3a) a = b = 0 のとき、全ての t に対して④が成り立つ。
(3b) 「a=0 かつ b≠0」、または「a≠0 かつ b=0」のときには、x=0 となる t は存在しない。
(3c) a≠0, b≠0 のとき、④より
e^(2β・t1) = -b/a
これは
b/a < 0
のときにしか成り立たない。
このとき
2β・t1 = log(-b/a)
これは
(3c-1) β=0 なら、a=-b となり、このとき全ての t に対して④が成り立つ。
(3c-2) β≠0 なら、
t1 = [1/(2β)]log(-b/a)
(4) ②より、v(t2) = 0 となる t2 は
v(t2) = a・β・e^(β・t2) - b・β・e^(-β・t2) = 0 ⑤
(4a) β = 0 のとき、全ての t に対して⑤が成り立つ。
(4b) β ≠ 0 のとき、⑤は
a・e^(β・t2) - b・e^(-β・t2) = 0 ⑥
となり
(4b-1) a = b = 0 のとき、全ての t に対して⑥すなわち⑤が成り立つ。
(4b-2) 「a=0 かつ b≠0」、または「a≠0 かつ b=0」のときには、v=0 となる t は存在しない。
(4b-3) a≠0, b≠0 のとき、⑥より
e^(2β・t2) = b/a
これは
b/a > 0
のときにしか成り立たない。
このとき
2β・t2 = log(b/a)
これは
(4b-3a) β=0 なら、a=-b となり、このとき全ての t に対して⑥すなわち⑤が成り立つ。
(4b-3b) β≠0 なら、
t2 = [1/(2β)]log(b/a)
定数 a, b, β の条件があらかじめ提示されていれば、それに応じて議論ができると思います。
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