x(t)はtの関数として、 dx(t)/dt =rx(t)｛1-(x(t)/K)｝ を両辺ラプラス変

x(t)はtの関数として、

dx(t)/dt =rx(t)｛1-(x(t)/K)｝

を両辺ラプラス変換するとどのようになりますか？

質問者からの補足コメント

• r,Kはどちらも正の定数です

    補足日時：2022/08/11 16:26

No.1 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/08/14 05:38

どうにもなりません

ラプラス変換を用いてその微分方程式を解くことは不可能です

dx/dt=rx(1-x/K)
↓両辺にK/{(x-K)x}をかけると
(K/{(x-K)x})dx/dt=-r
{1/(x-K)-1/x}dx/dt=-r
↓両辺を積分すると
log|x-K|-log|x|=-rt+c
log(|x-K|/|x|)=-rt+c
log(|1-K/x|)=-rt+c
↓C=±e^cとすると
1-K/x=Ce^(-rt)
↓両辺にK/x-Ce^(-rt)を加えると
1-Ce^(-rt)=K/x
↓両辺にx/(1-Ce^{-rt})をかけると
∴
x=K/(1-Ce^{-rt})