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以下の問題を教えてください。

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X=C(R,R)={R上定義された実数値連続関数}とおく、f,g ∈ Xのとき、

(f+g)(x)=f(x)+g(x),
(f・g)(x)=f( g(x) )

と定めると、Xは環になるか。
※Rは実数全体の集合とします。

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加法における単位元と逆元、乗法における単位元がわかりません。

加法の単位元はf(x)+g(x)=f(x)となるようなgを選べばいいので、恒等的に成立するためにはg=0とすればいいのかなと思いましたが、合っているかわかりません。

逆元の方はなんとなく存在しないだろうなくらいの感覚です。

また、乗法の単位元のについては、gがfの逆関数になるような関数を選べばいいと思ったのですが、fが変わればgも変わるので単位元は存在しないのかなと思っています。

不勉強で申し訳ないのですが、教えていただければ幸いです。

質問者からの補足コメント

  • >>No.1
    回答ありがとうございます。

    環になる条件は、

    (1)加法群かつアーベル群
    (2)乗法モノイド
    (3)+,・に関して分配法則が成り立つ

    の3つだと思います。
    (1)、(2)は成り立っているように見えるのですが、成り立たないのは(3)だけということでよろしいでしょうか?

    No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時:2022/10/12 21:55

A 回答 (1件)

その定義で、加法は群になります。


零元(加法単位元)は 定数関数 0、加法逆元は f(x) に対して -f(x) です。
(乗法)単位元は 恒等関数 e(x) =x、(乗法)逆元は存在するとは限りません。
例えば、f(x)=2x+3 には逆元 f^-1(x)=(x-3)/2 が存在しますが、
f(x)=x^2 には f^-1 は存在しませんね。
質問文の代数系は、環ではなく非可換モノイドになっています。
この回答への補足あり
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この回答へのお礼

解決しました。
ありがとうございました。

お礼日時:2022/10/14 15:31

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