置換積分 添付の積分なのですが、置換するしないというのは 何をもって決めるのでしょうか？ 私にはこの

置換積分
添付の積分なのですが、置換するしないというのは
何をもって決めるのでしょうか？
私にはこの式の積分の仕方を思いつけませんが、
かといって普通に解けるものかどうかも判別できません。

No.2 ベストアンサー 回答者： Tacosan 回答日時： 2022/10/23 23:57

端的にいえば「経験と勘」. まあこれでは「数学」とはいいにくいし身も蓋もないのだが, 「マニュアルに従えば誰でもできる」微分とは違って積分は「職人芸」の世界だからしょうがない.

でも自分なら部分積分かな. 1/x^2 を積分してもただの分数にしかならないし log x を微分すれば分数になる. つまり部分積分すれば「分数関数の積分」になることが見える.

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/10/24 13:24

積分については、特別な公式は無くて、

教科書に載ってるようなものも
微分公式の逆用にすぎない。
置換積分は合成関数の微分の逆用だし、
部分積分は積の微分の逆用で、
どちらも、被積分関数が
特定の式形をしているときだけ使える。
その特定の形というのが、
微分公式の結果出てくる式の形になっている。
要するに、答えの式形にある程度予想がつく
から公式が使える...というカラクリになっているわけ。
だったら、置換積分や部分積分を使っても、
「この答え知ってます。
微分すればこれが正しいことが確認できます。」
でも、大した違いはないと言える。
∫dx/√(1-x^2) = sin x とか
∫dx/(1+x^2) = arctan x とか
∫dx/x = log x とか、そういうモノの例だろう。

というわけで、今回の積分も
「こんなのたぶん log の入った分数式だよね」
と見切ってしまえば、
∫{(log x)/x^2}dx = F(x) + G(x)(log x)　；F,G は分数式
と置いて微分して　←[＊]
(log x)/x^2 = { F’(x) + G(x)/x } + G’(x)(log x).
この式は
F’(x) + G(x)/x = 0,
G’(x) = 1/x^2
であれば満たされるから、
G(x) = ∫{1/x^2}dx = -1/x,
F(x) = ∫{-G(x)/x}dx = ∫{1/x^2}dx = -1/x
が解の一例となる。よって不定積分は
∫{(log x)/x^3}dx = F(x) + G(x)(log x) + C　；Cは定数
= -1/x + {-1/x}(log x) + C
= - (1 + log x)/x + C.
途中[＊]のところで積の微分を使っているから、
この計算は部分積分を使った方法と表裏一体の関係にある。

No.3 回答者： tknakamuri 回答日時： 2022/10/24 05:51

>何をもって決めるのでしょうか？

誰も知らないです。
そういうのは諦めて、
使えそうな攻略パターンを覚えましょう。

良さそうな攻略法を選んで駄目だったら
べつの方法を試す。

数学は全般的にそんなものです。
銀の弾丸はそんなに多くない。

No.1 回答者： endlessriver 回答日時： 2022/10/23 23:10

勿論、積分がしやすい形・関数に変換するためです。

x=e^t なので
　Sn=∫[0,n] te^(-t)dt
となり、部分積分できると、すぐわかる形になります。


ただし、logxと1/x²に分ければ、部分積分だけで、ひと手間は
ぶけますが。

　Sn=[(logx)(-1/x)][e^n,1]-∫[1→e^n] (1/x)(-1/x)dx
　　=-n/e^n+0+∫[1→e^n] (1/x²)dx
　　=-n/e^n+0+[-/x][e^n,1]
　　=-n/e^n+0+[-/e^n + 1]
　　=-n/e^n-/e^n + 1
　　=-(n+1)/e^n + 1