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 とても困っているので質問させていただきます。
 RC発振回路を作成して低周波正弦波を出力させる、というものなのですが、『なぜ正弦波が出力されるのか』が分かりません。

 RC発振回路を載せているいくつかの本やWebサイトに当たった所、発振の振幅条件や発振周波数決定の周波数条件については書かれており理解できたのですが、肝心の『なぜ正弦波出力になるのか』が分かりません。
 例えば回路に電源を入れた際の過渡現象などによるゆらぎが、発振に成長すると思うんですが、そのゆらぎがどう変化して正弦波に整えられるのか、その過程が知りたいのです(参考書などではいきなり正弦波グラフが描かれてたりして、それについて全く解答が無い)。
 なお、実際には当方は、増幅器にはトランジスタを用いた反転増幅器、位相器にはCRハイパスフィルタ3段で180度位相を変える進相型を用いています。

 詳細な式や文献、Webサイト、論文等でも良いですので、教えていただければ幸いです。

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A 回答 (4件)

高調波とフーリエ級数について学習されると、nobuchomさんの疑問はおのずと解けるものと思います。



まず高調波ですが、周波数fの振動(正弦波)に対し、周波数2f、3f、4f・・・の振動(これまた正弦波)を高調波と呼びます。周波数が整数倍でないものは高調波と呼びません。

正弦波以外でも、周期が1/fである振動は全て基本波(周波数fの正弦波)と高調波の重ね合わせで表現できます。
例えばパルス波は
sin(2πft)+1/3・sin(6πft)+1/5・sin(10πft)+・・・+1/(2n+1)・sin((2n+1)πft)・・・
なる無限級数で表されます(フーリエ級数)。
第1項のみ取れば正弦波になります。第2項目以降はすべて高調波です。
世の中の振動・発振には完璧な正弦波というものはなく、パルス波に限らず必ず僅かの高調波を含んでいます。

ymmasayanさんの回答にもありますように移相器あるいは同調回路を通して帰還すると、基本波の成分のみが高調波の成分よりはるかに強く出てきます。仮に発振回路に最初にパルス波を放り込んだところで、高調波成分はすぐに減衰してしまい基本波だけが生き残るのです。

なお基本波しか帰還しなくても増幅回路の非線形性により高調波は自然と出力に現れます。増幅器の非線形性を強めにして故意に高調波を発生させ、それを同調回路でよりわけて取り出す「オーバートーン」という方法もよく使われています。(この場合も、帰還させるのは基本波のみです)

この回答への補足

えっと、皆さんの意見から自分なりに考えた事をまとめてみました

・雑音が発生して、色んなの周波数の波が出る。
・位相器を通る際に「位相器の周波数条件を満たした」「基本波」のみが無事位相器を通り抜ける事ができて増幅される。「周波数条件を満たしてない」波は殺され、「高調波」は思い切り振幅を減らされる(弱められてしまう)
・結果「周波数条件を満たした基本波のみ」が出力されているように「見える」が、実際には高調波も微量に含んでいる。
・高調波には基本波を打ち消すほどの振幅を持たないのでオシロで観測すると、あたかも基本波のみが取り出せているように「見える」

 こんな感じでしょうか……。

 フーリエやラプラスは知識があったんですが、こういう所でフーリエが出てくるんですか……。あのオーディオのグニャグニャしたレベルバーくらいの知識しかありませんでした……(笑)。もっと色々学ばないと!

補足日時:2001/09/09 03:43
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まず、私の回答の補足から。


(1)ymmasayanさんが指摘下さったように、私の回答ではフーリエ級数分解で直流分の存在を忘れていました。お恥ずかしいです、申し訳ありません。(直流分はここでの話にはあまり関係しないですが・・・というのは負け惜しみ!?)

(2)私の書いた「パルス波」のフーリエ級数展開ですが、
一般項は 1/(2n+1)・sin(2π(2n+1)ft) が正しいものでした(n=0,1,2,・・・)。訂正します。
もちろんcosを使っても表現できますし、exp(i・2πft)のような形で書くこともできます。(iは虚数単位)
またこのパルス波はむしろ矩形波と表現した方が適切でしたね。言うまでもなく上下対称の波形で、半サイクルで正の値を取り残りの半サイクルで負の値になる波です。

(3)ymmasayanさんの指摘にもありましたようにオーバートーン発振の話はあくまで余談です。今回の議論の中での本筋ではありませんからとりあえず無視して頂いて結構です。
本題の発振に関しては「(増幅器からの出力に)高調波は含まれてはいるが、移相器や同調回路で選り分けられてしまうために発振条件を満たせない」「そのため、基本波だけが抜きんでて大きく現れる」という理解で良いと思います。

(4)スレッドの転載に関してです。
このページの規約に、OK Web/教えて!gooの情報を無断で他のページに編集・転載してはならないとあります。ですから本スレッドの内容をそのまま転載されるならそこからの許可を取る必要があります。(逆に言えば私には許諾権限がないのです)
私自身は著作権を云々するほど大した回答は書いておらず、また規約上も回答者から許可は取る必要はないのですが、わざわざ確認して下さったのであれば恐縮です。事務局からOKが出たのであれば使って頂いて構いません。

この回答への補足

 スレッドの転載に関しましては、Gooの会社に著作権が帰属してしまっているので、駄目だそうです。
 自分でまとめ直したものを、自分のサイトに記載したいと思います……。
 #皆さんとの問答も、とても有意義なものだと思ったのですが、残念です。

 Umadaさん、ymmasayanさん、ありがとうございました。
 この辺でスレッドを打ち切らせていただきます。

補足日時:2001/09/12 03:22
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補足にお答えします。



> 波は全て正弦波(言い換えればEのj×角度乗で表せる形の波、オイラーで書き表せる波と言っても良い?)で出来ていて、それを高調波と呼ぶ。

違います。高調波という言葉が出てくるのは、同じ波形を規則正しく繰り返す、「繰り返し波形」の場合です。
単に波と言うことから言えば直流から始まって、無限の周波数まで沢山の波が混じっています。この波は全て正弦波の集まりとして表現できるのです。説明が短絡的で、いきなり高調波に行ってしまいましたので誤解を受けたようです。

> 疑問としては、なんでパルス波とかじゃなく、『正弦波』なのか、という所にあるので……。

私の説明では、繰り返し波形と高調波の関係の部分をはしょっていましたが、No.2のUmadaさんがフォローして下さいましたので、既にお分かりになったと思います。

同じ波形を繰り返す波(上下非対称も可)の場合、その繰り返し周波数を基本波周波数と言います。繰り返し波形をフーリエ展開すると
(1)直流分
(2)基本波周波数の正弦波
(3)高調波(基本波の2,3,4,5,6、・・・倍の周波数の正弦波)
に分解されます。
余談ですが、上下対象の場合、偶数次(偶数倍)高調波は存在しません。

この(1)(2)(3)の部分がなかなかピンとこないのですね。私が長いあいだ悩んだのはここでした。フーリエ展開で納得できても実際の波と実感として結びつかないのです。今でも、無理矢理、自分を納得させています。(肌に合いません)

この部分を信じて頂けば、後は nobuchomさんの理解されている通りでいいかと思います。

次に、発振の過程を整理します。発振条件を満たす基本波周波数の波(正弦波ではない)だけが残ったとします。下に書いている通り基本波+高調波に分解され、高調波が減衰して基本波のみが残るのです。矩形波の繰り返しパルスも(信じられないことに)チャンと直流と正弦波の集合に分解されます。

きれいな正弦波も歪を受けるとすぐに高調波を含んでしまいます。だから発振出力に高調波が混じる話及びオーバートーン発振の話は取りあえず本題と切り離して考えたほうがいいと思います。

この回答への補足

 周期性のある関数はその周期内で有界で滑らかで積分可能であればフーリエ変換できる、ということからですね(フーリエ変換は上下対称非対称関係ないですね)。
 そして高調波が位相器によってカットされてしまい(180度位相が変更されないので位相条件を満たさない、でいいですか?)、直流(今の場合はバイアスに値する)と基本波の足しあわされた波が増幅器に流れ込む、と。
 あとは結合コンデンサなりでカットしてあげて基本波出力の出来上がり、ということですかね?

 ということは、発振の「タネ」である過渡現象などによる「ゆらぎ」で、偶然に「発振周波数を基本周波数とする波(ただし振幅や上下対象非対称に関係ない)」が発生しない事には、発振は起こらない、という事になるのでしょうか。
 「ゆらぎ」ではありとあらゆる周波数の波が発生するので、とんでもなく非常に高い確率でその「タネ」が現れるので何回やっても発振が起こる、というのが僕の考えなのですが……。

 このスレッド、とてもためになるので、自分のホームページに転載しても構わないでしょうか?
 多分同じような悩みを持つ工学部生や高専生が日本にごまんといるでしょうし……。

補足日時:2001/09/09 13:33
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私も長いこと同じ疑問で悩みました。



結論としては、
(1)正弦波が最もポピュラーだから。
(2)正弦波を発振させるお膳立てをしているから。
と言うことです。理由は次の通りです。
(1)正弦波以外の波は1000Hzであっても、無数の高調波(全て正弦波です)を含んでいます。
   だから、その中では1000Hzの正弦波だけがポピュラー(正統派)なのです。
(2)移相器(位相器?)で180度反転と書いてありますが、これはつまり目的の周波数(ここでは1000Hz)だけに関する180度です。他の高調波については180度とならず移相器で邪魔されて発振条件が整わないのです。

結局、わずかな雑音からスタートした1000Hzの正弦波成分だけが市民権を得て大威張りで発振を続けると言うわけです。

高周波回路では寄生発振などを防ぐため、移相器でなく、同調回路を用います。

この回答への補足

質問させてください。

つまり、
・波は全て正弦波(言い換えればEのj×角度乗で表せる形の波、オイラーで書き表せる波と言っても良い?)で出来ていて、それを高調波と呼ぶ(高調波に関しては、名前は聞いたことはありました)。
・位相器による周波数条件で、その条件を満たさない他の全ての周波数の高調波が殺されて、条件を満たしている周波数の高調波だけが生き残り、出力として出てくる。
・よって周波数条件を満たしている『正弦波』が取り出せる

ということでしょうか。

 疑問としては、なんでパルス波とかじゃなく、『正弦波』なのか、という所にあるので……。お教え頂ければ幸いです。

補足日時:2001/09/08 23:39
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その1

  IC1   C    Rp    IC2
┌--|>○---||-----□---|>○--┐
|           |            |
|            □R        |
|           |           |
└---------------------------┘

|>○:IC1,IC2はインバータのつもりです。74HC04を使用予定としています。
||:Cはコンデンサです。
□:R,Rpは抵抗です。RpはIC保護用でCRの値には関係ないみたいです。
縦に入っている抵抗は、CとRpの間から繋がっています。

この回路の式は
f=1/(2.2*C*R)
でした。

その2
  Rt
┌---□----┐
| IC1    |     IC2 
|--|>○---------|>○--┐
| Ct                 |
└--||-------------------┘

|>○:IC1,IC2はインバータのつもりです。74HC04を使用予定としています。
||:Ctはコンデンサです。
□:Rtは抵抗です。
この回路の式は
T=-Ct*Rt(ln*(Vth/(Vdd+Vth))+ln((Vdd-Vth)/(2Vdd+Vth)))
です。

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[2] 矩形波発振器(1) http://www.hobby-elec.org/ckt13.htm
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 3段目の移相回路の抵抗をこの並列抵抗になる事を見越して抵抗値を選ぶならR1>>Rという条件は必要ありません。

> R3はオフセット電圧を調整するためR1とR2の並列合成抵抗値を選ぶとあるのですが

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>OPアンプはおそらくμA741だとおもわれます

回路は「振幅制御回路」に出ている全波整流回路とAGC回路を使ったものですか?そのURL(http://www.hobby-elec.org/ckt18_2.htm#2)には、TL082のデータシートが出ていますが、μA741とは古いOPアンプですね。このOPアンプはセカンドソースが多く、AD741(アナログデバイセズ)、NJM741(新日本無線)、MC1741(モトローラ)、LM741(ナショナルセミコンダクタ、フェアアチャイルド)、μA741(テキサスインスツツメンツ)などがありますが、μA741という型番ならテキサスインスツツメンツでしょう。データシート [1] を見ると、Open Lo0p利得が100kHzで20dBあるので、まあ、問題ないでしょう(ウイーンブリッジ発振回路の最低利得は3倍=9.54dB)。

>発振波形の振幅は確か±15[V]だったと思います。

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[1] μA741データシート(英語) http://focus.tij.co.jp/jp/lit/ds/symlink/ua741.pdf

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 従って、個人的な感覚としては、あまり使われていないと思うのですが、それでもこれらの回路の勉強をしなくても良いと思っている訳ではありません。もしかしたら将来、100GHz帯の新しい発振器が開発され、それを等価回路で表したら、移相型やウイーンブリッジ型発振回路と同じだったりするかも知れませんしね。
 
 「移相型とウイーンブリッジ型の違い」という御質問には、記憶によみがえるものがあります。以下かなり個人的な思い出話になりますが、ご容赦下さい。
 
 中学生のときに、移相型CR発振器を自作したことがあります。2連の可変抵抗器を使って周波数を変化できる簡易測定器です。当時ウイーンブリッジ発振回路というものがあることも本で読んで知ってはいたのですが、抵抗とコンデンサをあのようにつないでどうして周波数が決まるのか理解できず、一方で移相型は、CRによる位相遅延回路を3段つなぐのだから、ちょうど180度位相が遅れる周波数で発振するのだという、きわめて私には分かりやすい理屈だったこともあり、移相型で作ることにしました。
 移相型の場合、本来は3連可変抵抗器が必要なのですが、2連のものしか無かったので、1段は固定にしました。全体で180度遅れれば良い訳です。
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 発振条件式について理解されている質問者さんなら、この原因についてはもうお分かりかも知れませんね。ウイーンブリッジ回路の場合、発振条件式には周波数の項は含まれませんが、移相型の場合はもろに周波数の項が含まれます。つまり周波数を変えるたびに、ループゲインが1という状態からずれるので、電球は一生懸命追従しようとしていたのですが、なにぶん熱の時定数による遅れがあり、振幅がとんでもなく変化していたわけです。
 何年かたって、ようやくそのことに気付いた私は、押し入れから発振器を取り出して、ウイーンブリッジ型に改造しました。同じ発振器とは思えないほど、安定な振幅で発振しました。
 
 この経験で私は、「何事も最初はものまねから始る。しかし理屈をちゃんと理解しないと、一人前にはなれないな」と身にしみて思った次第です。

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