y^2-2xy+5x^2-1=0 の式を、yで表すと、 y=x±√(1-4x^2) と表せます。 こ

y^2-2xy+5x^2-1=0
の式を、yで表すと、
y=x±√(1-4x^2)
と表せます。
この式は楕円を表すそうですが、概形はどうやって描けばよいのでしょうか。

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/11/07 20:11

y= を微分して増減表を書くのもいいけれど、

無理式を微分して扱うのはやや気が重い。
二次曲線の標準形を求めたら早いんじゃないかな。

与式の二次部分を標準化するために、
A =
　　5　　-1
　　-1　　1
と置いて二次形式 (x y) A (x y)^T の対角化を試みる。
A の固有値,固有ベクトるを考えると
固有値 3+√5 に対して単位固有ベクトル (1,2-√5)/√(10-4√5),
固有値 3-√5 に対して単位固有ベクトル (1,2+√5)/√(10+4√5)
が求まるから、
D =
　　3+√5　0
　　0　　　3-√5,
P =
　　1/√(10-4√5)　　　　1/√(10-4√5)
　　(2-√5)/√(10-4√5)　(2+√5)/√(10-4√5)
と置けば A = P D P^T が成り立つ。

よって、 (u v)^T = P (x y)^T という直交変換を行えば
与式は (3+√5)u^2 + (3-√5)v^2 - 1 = 0 に変形される。
これを楕円の標準形 u^2/a^2 + v^2/b^2 = 1 と見るためには、
a = 1/√(3+√5), b = 1/√(3-√5) であればいい。
a が短径, b が長径で、各固有ベクトルが対応する軸の方向を表す。

No.1 ベストアンサー 回答者： stomachman 回答日時： 2022/11/07 14:58

> どうやって描けば

　どんな「概形」を描きたいのかによります。
　まず、この楕円の方程式にはxの1次の項とyの1次の項がないので、中心が原点(0,0)にあるということがわかります。
　せっかくyについて解いてあるので、右辺の平方根が実数である条件
　　1-4x^2 ≧ 0
から、楕円が存在するxの範囲は
　　|x| ≦ 1/2
だとわかる。そして、この範囲の端っこx=1/2, x=-1/2をそれぞれ代入すれば、「右端」と「左端」の座標がわかる。今度はxについて解いてみると、同様にして楕円が存在するyの範囲がわかり、「上端」と「下端」の座標がわかる。これで、楕円を囲む長方形が作図できて、その辺のどこに楕円が接しているかもわかる、というわけで、概形が描けます。
　
　いや、楕円の主軸（長軸、短軸）を知りたいんだ、ということであれば、（楕円の中心が原点(0,0)にあるから）原点を中心にして回転すれば
　　(X^2)/(a^2) + (Y^2)/(b^2) = 1
という形になるはず。その回転角をθとして、
　　c = cosθ, s = sinθ
と書くことにすれば、もちろん
　　c^2 + s^2 = 1
であり、これを使って
　　x = cX - sY
　　y = sX + cY
と表せる。これを当初の方程式に代入して、XYの項の係数が0になるようなc(あるいはs、あるいはθ)をひとつ求めれば、軸の向きと、楕円の長軸・短軸の長さが決まる。

この回答へのお礼

理解できました。ありがとうございました。

お礼日時：2022/11/12 19:07