6番の解説をお願いします 漸化式

6番の解説をお願いします
漸化式

質問者からの補足コメント

• すみません、7もお願いします

    補足日時：2022/12/24 21:51

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/12/24 21:57

a[n+1] - a[n] = 2^n から、

a[n] = a[1] + Σ[k=1..n-1]{ a[k+1] - a[k] }
　　= 1 + Σ[k=1..n-1] 2^k
　　= 1 + { 2^(n-1) - 1 }/{ 2 - 1 }
　　= 2^(n-1).

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2022/12/24 22:41

(6) let b[n] = a[n]/2^n

(7) let b[n] = a[n]/(-2)^n

No.3 回答者： sc348253 回答日時： 2022/12/30 13:55

https://manabitimes.jp/math/718　（美しい数学）参考に！自分でもしてみよう！

No.4 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/12/30 20:19

(6)

a(1)=1
a(n+1)=2a(n)+n
a(n+2)=2a(n+1)+n+1
a(n+2)-a(n+1)=2{a(n+1)-a(n)}+1
b(n)=a(n+1)-a(n)
とすると
b(1)=a(2)-a(1)=3-1=2
b(n+1)=2b(n)+1
b(n+1)+1=2{b(n)+1}
c(n)=b(n)+1
とすると
c(1)=b(1)+1=2+1=3
c(n+1)=2c(n)
c(n)=3*2^(n-1)
b(n)=3*2^(n-1)-1
a(n+1)-a(n)=3*2^(n-1)-1
Σ_{k=1～n}{a(k+1)-a(k)}=Σ_{k=1～n}{3*2^(k-1)-1}
a(n+1)-a(1)=3{Σ_{k=1～n}2^(k-1)}-n
a(n+1)-a(1)=3(2^n)-3-n
a(n+1)=3(2^n)-3-n+a(1)
a(n+1)=3(2^n)-2-n
∴
a(n)=3(2^{n-1})-n-1

No.5 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/01/05 22:51

(7)

a(1)=1
a(n+1)=-2a(n)+3^n
↓両辺を3^(n+1)で割ると
a(n+1)/3^(n+1)=(-2/3)a(n)/3^n+1/3
b(n)=a(n)/3^nとすると
b(1)=1/3
b(n+1)=(-2/3)b(n)+1/3
b(n+1)-1/5=(-2/3)b(n)+2/15
b(n+1)-1/5=(-2/3){b(n)-1/5}
c(n)=b(n)-1/5とすると
c(1)=2/15
c(n+1)=(-2/3)c(n)
c(n)=(2/15)(-2/3)^(n-1)=(-1/5)(-2/3)^n
b(n)=(1/5){1-(-2/3)^n}
a(n)=(1/5){1-(-2/3)^n}3^n
∴
a(n)={3^n-(-2)^n}/5