.(X,O)をコンパクト空間とする.Xの開被覆C={Ui;i∈N}について,任意のi∈Nに対して,U

.(X,O)をコンパクト空間とする.Xの開被覆C={Ui;i∈N}について,任意のi∈Nに対して,Ui ⊂Ui+1が成 り立つならば, ある n ∈ N に対して, X = Un となることを証明しなさい.


この問題を教えてください。よろしくお願いします。

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/01/17 21:14

(X,O)をコンパクト空間とする.

Xの開被覆C={Ui;i∈N}について,
任意のi∈Nに対して,Ui ⊂Ui+1が成 り立つとする

(X,O)はコンパクトだから
Cの有限部分開被覆
{Ui}_{i=1～n} が存在して
X⊂∪_{i=1～n}Ui
となる

k=1のときU_{n-k+1}=Un⊂Unが成り立つ
1≦k≦n-1となるある自然数kに対して
U_{n-k+1}⊂Un
が成り立つと仮定すると
U_{n-(k+1)+1}=U_{n-k}⊂U_{n-k+1}
↓これとU_{n-k+1}⊂Unから
U_{n-(k+1)+1}⊂Un
が成り立つから
1≦k≦nとなるすべての自然数kに対して
U_{n-k+1}⊂Un
が成り立つから
1≦i≦nとなるすべての自然数iに対して
Ui⊂Un
が成り立つから
∪_{i=1～n}Ui⊂Un
↓これとX⊂∪_{i=1～n}Uiから
X⊂Un
↓Un⊂Xだから
X=Un

No.1 回答者： HONTE 回答日時： 2023/01/17 19:18

読点は「、」です。

「,」ぢゃありません。