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a(n-k)=(1/n!)lim_{z->c}(d/dz)^n{f(z)(z-c)^k}を k=1と

締切済

質問者：akitv
質問日時：2023/01/27 21:20
回答数：11件

a(n-k)=(1/n!)lim_{z->c}(d/dz)^n{f(z)(z-c)^k}を
k=1として、
a(n-1)=(1/n!)lim_{z->c}(d/dz)^n{f(z)(z-c)}

a(n)=(1/(n+1)!)lim_{z->c}(d/dz)^(n+1){f(z)(z-c)}
としてからcにπ/2を代入して
a(n)=(1/(n+1)!)lim_{z->π/2}(d/dz)^(n+1){f(z)(z-π/2)}とした式と
画像の赤い下線部の式は同じ式でしょうか？

画像の式は(d^(n+1)/dz)^(n+1)となっていますが。

仮に同じ式の場合は同じ式であることを証明していただけるとありがたいです。

$「a(n-k)=(1/n!)lim_{z-」の質問画像$

画像のローラン展開はn≧-1の時z=1(a(n)=-1/(-2)^(n+2))とn≦-2の時z=-1(a(n)=1/(-2)^(n+2))のどちらかの場合でのローラン展開なのでしょうか？

$「a(n-k)=(1/n!)lim_{z-」の補足画像1$

補足日時：2023/01/31 10:06
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今更で申し訳ないのですが、
なぜf(z)=1/(z^2-1)のローラン展開において、積分経路は|z-1|=rと置けるのでしょうか？
すなわち、ローラン展開において、積分経路が|z-a|=rと置ける理由が知りたいです。

補足日時：2023/01/31 13:48
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編集

今更で申し訳ないのですが、
質問が4つあります。

1.
なぜf(z)=1/(z^2-1)のローラン展開において、積分経路は|z-1|=rと置けるのでしょうか？

すなわち、積分経路が|z-a|=rと置ける理由が知りたいです。

2.
f(z)=1/(z^2-1)のローラン展開の場合わけで、
r<|z-1|の場合がないのなぜでしょうか？

3.
過去のf(z)=1/(z^2-1)のローラン展開の場合わけ
i) 内側 |z-1l<r<2や
ii) |z-1|<r>2により、正則を含むこともあれば含まない事もあるとわかりました。

ですが、画像の0<|z-a|<rについては、
どのようにしてローラン展開の公式を導く上で0<|z-a|<rと作れた(導けた)のかわかりません。

4.
画像に、なぜr<|z-a|の場合わけがない理由も知りたいです。

どうかよろしくお願い致します。

$「a(n-k)=(1/n!)lim_{z-」の補足画像3$

補足日時：2023/01/31 14:18
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補足で申し訳ありません。

念の為にお聞きしたいのですが、
なぜ画像の青い四角の部分は
紫の四角の部分であるres(◯,□)の○の位置に入るのでしょうか？

定義だからとかではなく理由を教えて頂きたいです。
どうかよろしくお願い致します。

$「a(n-k)=(1/n!)lim_{z-」の補足画像4$

補足日時：2023/02/02 17:15
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回答 (11件中11～11件)

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No.1

回答者： mtrajcp
回答日時：2023/01/27 21:43

a(n-k)=(1/n!)lim_{z→c}(d/dz)^n{f(c)(z-c)^k}

は
それぞれの変数が定義されていないので
無条件に成り立つ式ではありません

f(z)がz=cでk位の極をもつとき
f(z)の0<|z-c|でのcのまわりのローラン展開は
f(z)=Σ_{n=0～∞}a(n-k)(z-c)^(n-k)
整数n≧0に対して
a(n-k)=(1/n!)lim_{z→c}(d/dz)^n{f(c)(z-c)^k}
となる
と書かなければいけません

この条件が書かれていないので同じとはいえません