大学物理

この問題の解き方がわかりません教えてくれると嬉しいです。

半径 a の輪に全電荷 Q が一様 (必要であれば, 線密度 λ) に分布しているとき, 以下の問いに答えよ.
(1) 輪の中心軸上で中心より距離 x の電場と電位を求めよ.
(2) 輪の中心軸によって運動可能な点電荷 (電荷:−Q) があるとする. この点電荷を輪がある面に対して垂直方向に微小な距離の位置に置いたとき, どんな運動をするか答えよ.

No.1 ベストアンサー 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/01/28 18:12

(1)

リングの微小部分 adθの電荷 λadθによる電位 dVは
　dV=λadθ/(4πε₀√(x²+a²))
リング全体による電位は
　V=∫dV=∫[0→2π] λadθ/(4πε₀√(x²+a²))
　　=(λa/2ε₀)/√(x²+a²)

電界は
　E=-gradV=<-(λa/2ε₀)(-1/2)2x(x²+a²)⁻³/², 0, 0>
　　=<(λa/2ε₀)x/(x²+a²)³/², 0, 0>

(2)
意味不明だが、電荷の質量をmとすると、
　mx''=-Q(E_x)=-Q(λa/2ε₀)x/(x²+a²)³/²
x≪a らしいので　x²+a²≒a²として
　x''=-Q(λa/2ε₀)x/a³=-(λQ/2ε₀a²)x

これは単振動の式で、解はよく知られており、
　x=Acoswt+Bsinwt , w=√(λQ/2ε₀a²)
となる。
　x'=w(-Asinwt+Bcoswt)
において、x'(0)=0 を入れると、B=0を得るので
　x=Acoswt
となる。

Aは初期の位置で、運動は単振動になる。

この回答へのお礼

ありがとうございました

お礼日時：2023/02/04 12:54