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 子供の理科のテキストに、ある高さから振り子を落とすと、同じ高さまで上がる、とありました。しかし実際にやってみれば振れはだんだん小さくなっていきますよね。これは空気抵抗などが影響してると思うのですが、真空のケースの中でこの実験を行うと実際はどうなるのでしょう。それでもいつかは止まってしまうとすれば、どのような条件の下でこの実験を行えば永遠に振り続ける振り子ができるのでしょう。よろしくお願いいたします。

A 回答 (3件)

振り子の振動を減衰させる大きい要因としては、空気抵抗のほかに、支点の摩擦があります。

これは、真空にしてもなくなりません。構造によって小さくする工夫はできますが、ゼロにはなりません。

また、地磁気で誘導電流が流れて、振動が減衰する効果もあります。金属など電流を通す部分をまったく無くせばこれは小さくなりますが、完全にゼロは無理と思います。

もっというと、ものすごく小さい効果だとは思いますが、振り子と他の物体の間に働く万有引力で、他の物体がわずかに振動することでもエネルギーが散逸すると思います。
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この回答へのお礼

ひも以外にもありましたか・・。
そう簡単な問題ではないのですね。
ありがとうございました。

お礼日時:2005/04/16 12:48

原子分子レベルより大きなスケールの世界では,


摩擦抵抗(電気回路の抵抗も含めて)は不可避です.

振り子は単振動なので,単振動で言えば,永遠に続く振動は「ゼロ点振動」のみです.

実際の振り子では,振り子の錘を重くする,紐を細くして紐内部の摩擦を小さくする,
支点への紐の取り付け方を工夫する,
減圧したり紐を細くして空気抵抗を小さくする,などで,
減衰を小さくすることは可能です.が,とまるまでの時間が
長くなるだけなので,「永遠の時間」とは言えませんね.

又は,減衰分のエネルギーを補充してやることです.
これは振り子時計ですね,減衰分をゼンマイ等で補充しています.
永遠に補充が出来れば,振り子は永遠に同じ幅で振り続けます.
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この回答へのお礼

なるほど。摩擦を少なくする方法まで教えていただきありがとうございました。

お礼日時:2005/04/16 12:50

真空状態であれば、空気抵抗はなくなりますが振り子をささえるヒモ(または棒を取り付ける部分)の摩擦抵抗があります。

これを無くす事が必要になると思いますが、実際には難しいのではないでしょうか?
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この回答へのお礼

早速のご回答ありがとうございました。
ひもの摩擦には気づきませんでした。ありがとうございました。

お礼日時:2005/04/16 12:47

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Q振り子時計の振り子はなぜ止まらないのですか?

振り子時計の振り子というものは、ゼンマイ(我が家の振り子時計は電池ですけど…)を巻いておけばしばらくは止まったりしませんが、普通、振り子というものは空気抵抗や摩擦力ですぐ止まってしまいますよね?実際我が家の時計も裏の電池をはずせばすぐ振り子が止まります。
そこで質問なのですが
1.どういった仕組みで振り子を止めないようにしているのですか?
2.その仕組みは、振り子を持ち上げたり、振り子に加速をつけたりと、振り子に何らかのエネルギーを加えるものだと思うのですが、そのような力を加えて振り子の一往復の時間が狂ったりしないのですか?
この二点についてよろしくお願いします。

Aベストアンサー

ゼンマイ式や、錘式の振り子時計は、脱進機によって振り子の固有振動に同調させてエネルギーを与え続けています(一種の強制振動)。したがって、一定の振幅、周期を保ちながら振動を続けます。また、電池式の振り子時計は振り子の運動による誘導電流をトランジスターなどの回路で増幅させて、振り子の振幅を一定に保たせようとしています。この場合も、明らかに、振り子の固有振動と電磁誘導による力は同調しています。

http://kawai3.hp.infoseek.co.jp/escapement.html

参考URL:http://www.tdk.co.jp/techmag/ninja/daa01132.htm

Q単振り子の運動方程式

重力加速度g、質量m、紐の長さl、空気抵抗無視。

単振り子の運動方程式はこうなりますよね。
mlθ"=-mgsinθ
これがよくわからないのです。
どういう座標系についての運動方程式なのですか?

軌道にそってx軸を定めると
θl=x
mx"=-mgsinθ  軌道に沿った運動方程式?
⇔mlθ"=-mgsinθ  どういう座標系の運動方程式なの?
そしてこれの一般解はどういう風になりますか?
初期条件としてt=0でθ=φとします。

Aベストアンサー

まず座標系についてのお話をします。下の図をご覧下さい。

  y
  ↑
  ・→x
   \
   →\
   θ \
      ●

振子の支点を・、先端に吊るされたおもりを●で表しています。支点の位置をxy座標の原点に取るならば、鉛直からの振れ角をθとして
x= l sinθ  (1)
y= -l cosθ  (2)
であることは既にご承知かと思います。
このように置くこと自体が、(x, y)の直交座標系から(l, θ)の極座標系に移行していることに相当します。ただほとんど自明なことなので「極座標に置き換えて」などとわざわざ断っていないわけです。
極座標系に移行したことで問題の本質はx(t), y(t)の代わりにl(t), θ(t)を求めることに帰着します。大抵の場合はひもは伸び縮みしないと仮定しますのでlについて解く必要はなく、θについてのみ解くことになります。その方程式が
ml(d^2θ/dt^2)= -mg sinθ  (3)
なわけです。

しかしこの方程式は初等関数の範囲では解くことが出来ません。そこで初等物理の範囲ではθが小さい場合に限って問題を考えることにし、
sinθ≒θ  (4)
の近似を行って解きます。このとき(3)は
ml(d^2θ/dt^2) = -mg θ  (5)
となります。これの解き方はいろいろあります。線形微分方程式の理論を知っていれば解は直ちに
θ= C sin{√(g/l) t+α} ←Cは定数  (6)
だと分かります。αはC sinα=φを満たす定数です。
2階の微分方程式ですが初期条件が「t=0でθ=φ」の一つしか与えられていないので、定数が一つ未定のまま残ります(*1)。

愚直に微分方程式を解くのであれば下のようにやります。
l(d^2θ/dt^2)(dθ/dt) = -g θ(dθ/dt)
d/dt {(dθ/dt)^2} = -(g/l) d/dt (θ^2) ←両辺に(dθ/dt)をかけた上で、積の導関数の公式((y^2)'=2y y')を逆に使った
(dθ/dt)^2 = -(g/l) θ^2 +C1 ←C1は積分定数
dθ/dt = √{-(g/l) θ^2 +C1}  (7)
ここでθ=√(l/g)√C1 sinψと変数を変換すると
dθ/dt = √C1√(1-sin^2 ψ)  (8)
を経て
√(l/g)√C1 cosψ dψ = √C1 cosψ dt  (9)
と変形でき、両辺を積分することで
√(l/g) ψ= t+C2 ←C2は積分定数  (10)
を得ます。θの表式に戻すと
θ=√(l/g)√C1 sin{√(l/g) (t+C2)}  (11)
となります。これは本質的に(6)と同じ式です。初期条件「t=0でθ=φ」を代入することで
φ=√(l/g)√C1 sin{√(l/g)C2}  (12)
を得ます。これを使うと(11)からC1, C2のいずれかを消去できます。初期条件がもう一つあれば運動は一意に定まります(脚注参照)。

もちろん、「軌道に沿ってx軸を定める」でも解けます。この場合の運動方程式は
m(d^2 x/dt^2)= -mg sin(x/l)  (13)
となります。本質的に(3)と同じであることは申し上げるまでもなく、同様に解くことができます。

考え方は上記でよいはずですが中間で計算ミスがあるかも知れませんので、ONEONEさんご自身でも確認しながら読んで頂けると幸いです。

*1 もし初期条件が「t=0でθ=φまでおもりを持ち上げて手を放す」という意味であれば、「θの最大値はφ(厳密には|φ|)」という条件が新たに加わるので運動は一意に定まります。この場合はφsinα=φからα=π/2、よってθ=φsin{√(g/l) t+(π/2)}=φcos{√(g/l) t}と求めることができます。

まず座標系についてのお話をします。下の図をご覧下さい。

  y
  ↑
  ・→x
   \
   →\
   θ \
      ●

振子の支点を・、先端に吊るされたおもりを●で表しています。支点の位置をxy座標の原点に取るならば、鉛直からの振れ角をθとして
x= l sinθ  (1)
y= -l cosθ  (2)
であることは既にご承知かと思います。
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