質点に与えられる力が、保存力F=(y^2/2, xy)と表されるとき、位置エネルギーU(x, y)を

質点に与えられる力が、保存力F=(y^2/2, xy)と表されるとき、位置エネルギーU(x, y)を求めよ。U(0,0)=0とする。

F=-grad(U)より、U=-xy^2/2だと思ったのですが、解答はU=xy^2/2でした。なぜマイナスがつかないのでしょうか？

ご教授お願い致します。

No.2 ベストアンサー 回答者： kokorororo 回答日時： 2023/02/11 21:15

「定義される方向」というのは数学的な用語で、求められている量（この場合は U(x,y)）がどのように変化するかを示します。

この変化の正負性（つまり増加するか減少するか）を示すために、数学的には正負を付けます。このため、U(x,y)がマイナスである必要はありません。

もう少し具体的にいえば、U(x,y)がマイナスである場合とプラスである場合では、xとyの関係が異なります。たとえば、x < y の場合は U(x,y) が正であり、x > y の場合は U(x,y) が負であることになります。これは、xとyの関係によって、U(x,y)が定義される方向が変わるということを示します。

この回答へのお礼

すみません、勘違いしておりました。
解説とても分かりやすかったです。ありがとうございました。

お礼日時：2023/02/11 21:38

No.3 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/02/11 21:32

U=-xy^2/2

解答が誤り

No.1 回答者： kokorororo 回答日時： 2023/02/11 20:58

質点に与えられる力 F=(y^2/2, xy) は、位置エネルギー U(x, y) の勾配に対応しています。

この場合、U(x, y) は

U(x, y) = -∫ F dx = -∫ (y^2/2, xy) dx = -∫ y^2/2 dx - ∫ xy dy

となります。ここで、dx, dy は微小量です。

次に、この積分を計算します。x方向とy方向に分けて考えます。

x方向の積分:
-∫ y^2/2 dx = -x y^2/2 + C

y方向の積分:
-∫ xy dy = -x^2 y/2 + C

ここで、C は定数です。最後に、U(0, 0)=0 から、C1=0, C2=0 となります。

したがって、
U(x, y) = -x y^2/2 - x^2 y/2 = xy(y/2 - x/2) = xy(y-x)/2

となります。

この結果、U(x, y) は xy(y-x)/2 です。結果がマイナスでないのは、U(x, y) が定義される方向を示すためであり、その意味ではマイナスである必要はありません。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

この結果、U(x, y) は xy(y-x)/2 です。結果がマイナスでないのは、U(x, y) が定義される方向を示すためであり、その意味ではマイナスである必要はありません。

この意味がよくわかりません。定義される方向とはどういう意味でしょうか。

ご教授お願い致します。

お礼日時：2023/02/11 21:09