電磁気学の問題について教えてほしいです。 Z方向の一様な外部電界 E0中に半径aの導体球(電位V0)

電磁気学の問題について教えてほしいです。

Z方向の一様な外部電界 E0中に半径aの導体球(電位V0)を
置くとき、球の外部の点 P(r,θ)の電位は、
A、B、Cを係数として

V=Arcosθ+B/r+Ccosθ/r^2
(1)境界条件からA,B,C。
(2)導体球に誘起される電荷密度分布。

教えてください！

No.2 ベストアンサー 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/04/09 21:04

>φ(x,y,z)からφ(r,θ)はどのような計算ですか？<

●意味不明ですが、球座標変換。
　x=rsinθcosφ、y=rsinθsinφ、z=rsinθ
今回はz軸回転対称かV(r,φ,θ)はφに無関係で、V(r,θ)となる。

>前者では R ≫ r、後者では r ≫ a/R として展開<
●前者は、r/R≪1から√を近似すると(高次のr²/R²は無視して)
　(1/R)/√{1+(2r/R)cosθ+r²/R²}≒(1/R)(1-(r/R)cosθ)
　(1/R)/√{1-(2r/R)cosθ+r²/R²}≒(1/R)(1+(r/R)cosθ)
この差=-2(r/R)cosθ

後者は、a/rR≪1から√を近似すると同様に
　(1/r)/√{1+(2a²/rR)cosθ+a⁴/r²R²}≒(1/r)(1-(a²/rR)cosθ)
　(1/r)/√{1-(2a²/rR)cosθ+a⁴/r²R²}≒(1/r)(1+(a²/rR)cosθ)
この差=-2(a²/r²R)cosθ

>また、E₀=Q/4πε₀R ですか？<
●そうです。そう仮定したと書いてある。


ここで書いてあるのはざっくりした議論なので、砂川氏の書籍を
読んで下さい。

この回答へのお礼

上のφ(x,y,z)からφ(r,θ)はどのような計算ですか？という質問は、近似する計算を知りたかったためです。
r/R<<1の部分を忘れていたようです。

分かりやすく教えていただきありがとうごさいます！

お礼日時：2023/04/09 22:45

No.1 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/04/09 16:38

理論電磁気学、砂川や

https://www.phys.chuo-u.ac.jp/labs/nakano/denjik …
に載っている。

(1)
ただ、導体球の電位をV₀としているので
　V=-(1-a³/r³)E₀rcosθ+V₀
となる。つまり
　A=-E₀, B=0, C=a³E₀cosθ (V₀の項が無い ????)

(2)
なお、電荷密度は境界条件
　D・n=σ　(導体内部の電界・電束密度は0)
から
　σ=ε₀Er=ε₀(-∂V/∂r)(r=a)
である。ここで
　-∂V/∂r=(1+2a³/r³)E₀cosθ
なので
　σ=3ε₀E₀cosθ

この回答へのお礼

まず、解説ありがとうごさいます。

φ(x,y,z)からφ(r,θ)はどのような計算ですか？
「前者では R ≫ r、後者では r ≫ a/R として展開」
という部分が分からないです。前者をR、後者をrで
割ったものが0になる？などを使うのですか？
ご教授お願いします。

また、E₀=Q/4πε₀R ですか？

お礼日時：2023/04/09 19:11