数学(数列) 二番の問題 模範解答では 二種類の一般項を出す→掛け合わせる→それをΣ計算する だった

数学(数列)

二番の問題

模範解答では

二種類の一般項を出す→掛け合わせる→それをΣ計算する

だったのですが

二種類の一般項を出す→それぞれΣ計算→最後に掛け合わせる

ではダメな理由を教えていただきたいです

No.4 ベストアンサー 回答者： BlockedOldManAgain 回答日時： 2023/04/11 13:45

それは一致しないでしょうね。

一般に、
(Σ[k=1からnまで] a_k)・(Σ[k=1からnまで] b_k)
≠ Σ[k=1からnまで] a_k・b_k
の場合が多いです。

小さい n について試してみましょう。
n = 2 のとき、
(Σ[k=1からnまで] a_k)・(Σ[k=1からnまで] b_k)
= (a_1 + a_2)・(b_1 + b_2)
= a_1・ｂ_1 + a_1・b_2 + a_2・ｂ_1 + a_2・b_2,

Σ[k=1からnまで] a_k・b_k
= a_1・ｂ_1 + a_2・b_2
です。
これは、たまたま
a_1・b_2 + a_2・ｂ_1 = 0 の場合しか一致しませんね。

n = 3 のとき、
(Σ[k=1からnまで] a_k)・(Σ[k=1からnまで] b_k)
= (a_1 + a_2 + a_3)・(b_1 + b_2 + b_3)
も自分で展開してみてください。
こういうのって、一度自分でやっておくと
納得感が違うものです。

具体的に、例えば
n = 3,
a_1 = 1, a_2 = 2, a_3 = 3,
b_1 = 1. b_2 = 0, b_3 = -1 のとき
(Σ[k=1からnまで] a_k)・(Σ[k=1からnまで] b_k)
= (1 + 2 + 3)・(1 + 0 + (-1))
= 6・0
= 0,

Σ[k=1からnまで] a_k・b_k
= 1・1 + 2・0 + 3・(-1)
= -2
です。値が違うでしょう？

もちろん、たまたま一致する場合もあるんですけど。
例えば、
n = 2,
a_1 = 1, a_2 = 2,
b_1 = 2, b_2 = -4 のとき
(Σ[k=1からnまで] a_k)・(Σ[k=1からnまで] b_k)
= (1 + 2)・(2 + (-4))
= 3・(-2)
= -6,

Σ[k=1からnまで] a_k・b_k
= 1・2 + 2・(-4)
= -6
です。たまたまです。

No.3 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/04/11 04:03

a(1)b(1)+a(2)b(2)=2・1 + 4・4 = 2 + 16 =18

{a(1)+a(2)}{b(1)+b(2)}=(2 + 4)(1 + 4)=6・5=30
だから
a(1)b(1)+a(2)b(2)=2・1 + 4・4 =18≠30=(2 + 4)(1 + 4)={a(1)+a(2)}{b(1)+b(2)}
∴
a(1)b(1)+a(2)b(2)≠{a(1)+a(2)}{b(1)+b(2)}
a(1)b(1)+a(2)b(2)+a(3)b(3)≠{a(1)+a(2)+a(3)}{b(1)+b(2)+b(3)}
a(1)b(1)+a(2)b(2)+a(3)b(3)+a(4)b(4)≠{a(1)+a(2)+a(3)+a(4)}{b(1)+b(2)+b(3)+b(4)}
∴
Σ_{k=1～n}a(k)b(k)≠Σ_{k=1～n}a(k)Σ_{k=1～n}b(k)

No.2 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/04/10 21:51

訂正

　左辺=Σa[k]b[k]=bΣa[k]

No.1 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/04/10 21:48

Σa[k]b[k]≠Σa[k]・Σb[k]

だから。

自明だが、例えば、b[k]=b (定数)とすると、上式は
　左辺=Σa[k]b[k]=nΣa[k]
　右辺=Σa[k]・Σb=Σa[k]・b・n=b・nΣa[k]
となる。