整数問題 11 素数再びの再び ³ 超難題では？

素数 m,n を用いて mⁿ+nᵐ と表わせられる素数をすべて求めよ.

補足

初見、全く手が出ず、、、
こういう時は、先ずは実験

試行錯誤中です、

識者の方々のアプローチを教えていただけると幸いです

質問者からの補足コメント

• 

  先生お体は大丈夫ですか
  
  私も今日の朝退院しました
  
  
  回答読ませて頂きました
  
  ３の倍数に帰着させて素数だから 3 かっこいいですね
  
  私の答案は相当危ないです　　自信がありません
  
  
  先生に
  
  ご評価、ご指導いただけると幸いです
  
  from minamino

  
  No.4の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/05/05 12:52

• 

  mtrajcp
  
  おはようございます。
  
  こんにちは。ですね
  
  散々な答案だと思うのですが
  
  ご教示いただけますと幸いです。

  
  No.3の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/05/05 12:56

• 

  お初です
  
  宜しくお願い致します
  
  早速ですが、私の答案
  ご評価、ご指導ください

  
  No.2の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/05/05 13:01

• 

  syotao先生こんばんは
  
  今日も横になっているのが精一杯です
  
  >ｐの値も定めた上での話ですよ
  
  pの値を定めてから図を利用しました
  
  何卒宜しくお願い致します。
  
  from minamino

  
  No.6の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/05/06 13:27

• 

  先生、気遣って頂いて感謝いたします。
  
  慌てて書いた答案なので、読みずらいと思いますが
  
  何卒宜しくお願い致します

  
  No.8の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/05/07 15:37

• 

  教授こんにちは。
  
  さっそくですが
  
  >y=m^2-2p_1-1,と,y=-2^mの交点1つ
  
  この、2p_1　アンダバーの表記の意味が掴めません
  
  教えてください
  
  何卒宜しくお願い致します

  No.9の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/05/07 15:43

• 

  先生
  
  まだ起きていますか？
  
  早く見ていただければと頑張りました
  
  何卒宜しくお願い致します。

  
  No.7の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/05/07 20:28

• 

  何度とご指摘ありがとうございます。
  
  考え方を大幅に変更しました
  
  どうか
  
  ご評価、ご指導ください

  
  No.10の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/05/07 21:02

• 

  先生、遅くまで申し訳ございません
  
  大幅に考え方を勇気を出して変更して
  
  あらためて答案です
  
  ご評価、ご指導ください

  
  No.5の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/05/07 21:06

• 

  先生、こんにちは。
  
  お待ちしておりました。
  
  早速ですが
  
  >う～ん、残念だけどｍ＞2　で　ｍ²＞2ᵐ　はあやまりです
  
  これは、合成数 4 を除き素数m だけで表記すれば,そうなるであろうとの意味合いです
  
  この後でゆっくり再度答案を作成しますが
  
  私の答案の
  
  「 m が 5 以上のとき、①<② なり不適」
  
  の発言は間違っているのでしょうか？
  
  m>0 において、①と②は2度交わっているのでしょうか？
  
  
  取り急ぎここまでです
  
  何卒宜しくお願い致します
  
  from minamino

  No.12の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/05/08 15:31

No.8 回答者： syotao 回答日時： 2023/05/07 11:10

あのー、御返事はゆっくりでいいですよー

体調優先でね（^^）

この回答へのお礼

ごめんなさい

答案に大きなミスがありました

③の切片15.5　はミスです

ゆっくり考えてみます

お礼日時：2023/05/07 16:32

No.7 回答者： syotao 回答日時： 2023/05/06 16:53

う～ん、どうもぼくにはあなたの解答の趣旨が

よくわからないです。ごめんなさい。
まずいえることは
ｍ²＋2ᵐ＝2p＋1をみたすｍ＞0は2p＋1≧3ならば各2p＋1に対して
1つずつ定まるということです。だからといってｍ＝3に限るという
根拠がわからない。つまりｍ²≡1（mod.2）からは
ｍが奇数という結論しか出ない：
5²＋2⁵＝2･28＋1、7²＋2⁷＝2･88＋1　というような場合
をどうして排除できるのですか？

No.6 回答者： syotao 回答日時： 2023/05/05 16:26

ｙ＝ｍ²-2p-1とｙ＝-2ᵐの交点がｍ＞0でただ1つに決まるというのは

ｐの値も定めた上での話ですよ。ｐの値によってそのつど交点のｍは
変わるから上の事実からただちにｍ＝3とはいえないよ。
ｍが3の倍数でなければあなたの①式右辺が素数にならないことを
抑えとく必要があると思います。

お互い体に気をつけてがんばろう！

No.5 回答者： syotao 回答日時： 2023/05/03 22:44

緊急手術で入院しててしばらくこれんかったんよ

ま、あなたの質問もむずかしいというのもあるけど（笑）

No.3 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/05/03 16:40

mは素数だから

m≧2
nは素数だから
n≧2
だから
m^n≧2^2=4
n^m≧2^2=4
だから
m^n+n^m≧4+4=8
は素数だから
m^n+n^m≧11
は11以上の素数だから奇数

m偶数n偶数と仮定すると
m^n+n^mは偶数となって奇数であることに矛盾するから
m,nのどちらかが奇数
m奇数n奇数と仮定すると
m^n+n^mは偶数となって奇数であることに矛盾するから
m,nのどちらかが偶数素数2だから
m=2.または.n=2

m=2のとき
nは奇数だからn=2k+1となる整数kがあるから
m^n=2^(2k+1)=2(4^k)=2(3+1)^k=2(mod3)
n=0.or.1.or.2(mod3)
n=1(mod3)と仮定すると
n^m=1(mod3)
m^n+n^m=2+1=0(mod3)
は(11以上の)3の倍数だから素数でないとなって素数であることに矛盾するから
n=0.or.2(mod3)
n=2(mod3)と仮定すると
n^m=1(mod3)
m^n+n^m=2+1=0(mod3)
は(11以上の)3の倍数だから素数でないとなって素数であることに矛盾するから
n=0(mod3)
は素数だから
n=3
m^n+n^m=2^3+3^2=8+9=17

n=2のとき
同様に
m=3
m^n+n^m=3^2+2^3=9+8=17

∴
m^n+n^m=17

この回答へのお礼

やっと、納得のいく答案が出来ましたので

ご評価、ご指導をお願い致します

https://imgur.com/a/FisEiWm

お礼日時：2023/05/12 12:27

No.2 回答者： rnakamra 回答日時： 2023/05/03 08:37

m<nとすると

偶奇を考えるとm=2はすぐに出てくる。(m,nが両方とも奇数だとm^2+n^mは偶数になる)
つまり
2^n+n^2
が素数となる素数nを探せばよい。

ここからはいつもと同様に3を法として考えてみる。
n=2では素数にならないのでn≧3の素数、つまりnは奇数。
2^n≡-1 (mod3)

で、n>3の奇数では
n^2≡1(mod3)
となり、2^n+n^2≡1+1≡0(mod3)となり、これは素数ではない。(2^n+n^2>3は明らか)
つまりn=3しか題意を満たすものはない、ということがわかります。

この手の問題では3を法として考えることが多いのですが、偶奇で考えるのもありです。

No.1 回答者： 胸が大きいのが悩みなの。乳首は桜色だし。 回答日時： 2023/05/03 06:48

http://www.koyo-h.open.ed.jp/kenkyusuishinbu/mat …

https://account-it-dentist.hatenablog.com/entry/ …

この回答へのお礼

おはようございます

ご回答ありがとうございます

入試問題に詳しいですよね


自分で解いたら、参考にさせていただきます。

お礼日時：2023/05/03 07:22