Aが直交行列のとき、|A|=±1である事の証明を教えていただきたいです！

Aが直交行列のとき、|A|=±1である事の証明を教えていただきたいです！

No.3 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/06/08 10:03

Aが直交行列　⇔　A A^T = E.

1 = det(E) = det(A A^T) = det(A) det(A^T) = det(A) det(A)
より det(A) = ±1.
これは、高校の教科書にも載ってるような計算だが、
上記の式を証明するには、まず基本的な公式の証明が要る。
det(A A^T) = det(A) det(A^T) の根拠↓
https://risalc.info/src/determinant-product.html
det(A^T) = det(A) の根拠↓
https://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/category/gyou …
行列関係の定理は、このように、基礎の部分が
難しくはないがチマチマ面倒くさいから、
定理としてパッケージ化してしまうことに意義が大きい。

No.2 回答者： tknakamuri 回答日時： 2023/06/08 09:57

直交行列の定義は

MM^T = E

det(M) = det(M^T) (行列式の性質)
det(MM^T)=detE=1 (単位行列の行列式)

行列の積の行列式の公式から
det(MM^T)=det(M)det(M^T)=det(M)^2=1

これで +1 又は-1 になる可能性は示されたが、
実在は未証明。
でも
1 0
0 ±1
は直交行列でdet は±1だから実在も証明された。

No.1 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2023/06/08 03:00

そんな基本的なことはウィキペディアに出ていますよ。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%9B%B4%E4%BA%A4 …

の下の方の「性質」に書いてあります。