No.2ベストアンサー
- 回答日時:
二つの整数a,bが互いに素であることとは、aとbの最大公約数が1であることです。
ある整数p,qが存在してpa+qb=1が成り立つこと⇒二つの整数a,bが互いに素であること
aとbの最大公約数をdとおく
d*{p(a/d)+q(b/d)}=pa+qb=1
となって、dは1の約数ゆえに、d=1
したがってaとbが互いに素であることが示された。
二つの整数a,bが互いに素であること
⇒ある整数p,qが存在してpa+qb=1が成り立つこと
整数の集合SをS={kは自然数|k=ma+nb、mとnは整数}とおく。
Sの正の要素のうち最小のものをeとおく
e=sa+tb
ここで、Sの任意の要素kがeで割り切れることを証明する。・・・※
k=eq+r(ただし0≦r<e)と書ける。
0<r<eと仮定する・・・○
r=k-eq=(m-sq)a+(n-tq)b
ですから、○よりrは正のSの要素となるはずであるが、やはり○よりrはeより小さいので、これはSの正の最小の要素がeであることに反する。
したがってr=0となって、※が示された。
a=1*a+0*b、b=0*a+1*bだから、aとbもSの要素である。
※よりaとbもeで割り切れるはずであるが、
e≧2と仮定すると、eがaとbの2以上の公約数となってしまい、aとbが互いに素であることに反する。
したがってe=1
1=sa+tbとなるような整数sとtが存在することが言えました。
この回答へのお礼
お礼日時:2005/04/25 03:09
すごく丁寧な解説をしていただきまして、ありがとうございました。これだけ詳しく解説をしてくださるとすごく理解しやすかったです。
ありがとうございました。
No.3
- 回答日時:
方法は色々ありますが,一例を.
左⇒右:
∃m∈Z,ma≡1 (mod b)を示せばよい.
条件を満たすmが存在しないと仮定して,矛盾を導く.
右⇒左:
d=(a,b)とする.
d≠1と仮定して,整数環の可逆元が1,-1だけであることを用いて矛盾を導く.
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
似たような質問が見つかりました
- 数学 環論の素元について 6 2022/05/09 04:04
- 数学 某大学の数学入試問題で、フェルマーの定理絡みの問いがありました。 9 2023/02/14 08:35
- 数学 上三角行列のn乗の証明 2 2023/07/23 21:45
- 数学 これが人類最初のABC予想の応用ですか? 3 2022/04/27 05:41
- 政治 ABC予想で自衛隊を合憲にする事ができますよね? 3 2022/04/23 05:46
- 数学 0でも無限でもない。 4 2023/04/22 19:12
- 数学 教えてください。 2 2022/06/30 14:26
- 数学 2次以上の多項式g(x)であって, 任意の無理数に対して無理数の値を取るものは存在しないことを示せ. 8 2022/06/27 11:28
- 数学 数学の解法について こんばんは。最近数学の問題を解いています。証明問題を解いたのですが、解答とアプロ 4 2022/09/11 23:22
- 数学 一意分解環について 3 2022/04/30 04:09
おすすめ情報
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
-
数学の「証明」のときなどの接...
-
素数の積に1を加算すると素数で...
-
養子縁組って片方の親だけって...
-
数学の証明問題で、「証明終了」...
-
証明終了の記号。
-
夫が亡くなった後の義理家族と...
-
双子素数とゴールドバッハ予想...
-
大学の給付型奨学金について 現...
-
「証明証」と「証明書」はどう...
-
お婿さんを貰った時の結婚式に...
-
父の再婚相手の子どもは結婚し...
-
正八角形の性質について
-
【代数学】サイズが偶数の有限...
-
【応用解析】特異点 留数 位...
-
再婚を考えてますが、養子縁組...
-
中間体
-
幽霊が存在していないことを証...
-
正解が一つとは限らない数学の...
-
(4^n)-1が3の倍数であることの...
-
逆関数の微分可能の証明について
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
-
素数の積に1を加算すると素数で...
-
証明終了の記号。
-
数学の証明問題で、「証明終了」...
-
数学の「証明」のときなどの接...
-
3,4,7,8を使って10を作る
-
幽霊が存在していないことを証...
-
「証明証」と「証明書」はどう...
-
rankに関する証明問題です。
-
よって・ゆえに・したがって・∴...
-
一様連続の証明
-
素数の性質
-
中3数学 2つの続いた整数では、...
-
(4^n)-1が3の倍数であることの...
-
スカラー場とベクトル場
-
なぜ独身だと養子が持てないの...
-
夫が亡くなった後の義理家族と...
-
無理数って二乗しても有理数に...
-
婿養子に入ったのに出て行けと...
-
兄弟の子どもの養子縁組は可能...
-
一様連続 e^x 証明
おすすめ情報