複素数平面についての問題です。 ２点α、βが定められており、それらともう１点γと結ぶ三角形が直角二等

複素数平面についての問題です。

２点α、βが定められており、それらともう１点γと結ぶ三角形が直角二等辺三角形となるようなγを求めなさい。

という問題です。
α、βを結ぶ辺を直角に向かい合わせになっている辺とするとそれでγは２点、直角を作る辺とすると、全部で４つの合計６点あると思うのですが、、、

よろしくお願い致します。

No.6 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/07/01 14:28

＞ できましたら具体例を挙げて

具体例で考えることが好ましい問題とも思えないけど...
例えば、α = 2√3, β = 2i の例では、

α,βを結ぶ辺を斜辺とする直角二等辺三角形は
(β - γ) = (α - γ)(±i) を解けば求まるから、
(2i - γ) = (2√3 - γ)i を解いて γ = - １ + √3 + (1 - √3)i と
(2i - γ) = (2√3 - γ)(-i) を解いて γ = １ + √3 + (1 + √3)i
の 2つ。

α が直角の頂点となる直角二等辺三角形は
(γ - α) = (β - α)(±i) を解けば求まるから、
(γ - 2√3) = (2i - 2√3)i を解いて γ = - 2 + 2√3 - (2√3)i と
(γ - 2√3) = (2i - 2√3)(-i) を解いて γ = 2 + 2√3 + (2√3)i
の 2つ。

β が直角の頂点となる直角二等辺三角形は
(α - β) = (γ - α)(±i) を解けば求まるから、
(2√3 - 2i) = (γ - 2i)i を解いて γ = - 2 + (2 - 2√3)i と
(2√3 - 2i) = (γ - 2i)(-i) を解いて γ = 2 + (2 + 2√3)i
の 2つ。

合計 6個。
こんな例が役に立つのか？

この回答へのお礼

ありがとうございます。m(_ _)m

お礼日時：2023/07/01 21:11

No.5 回答者： stomachman 回答日時： 2023/06/30 11:22

おっしゃる通り「合計６点ある」。

(1)αのところが直角、(2)βのところが直角、(3)γのところが直角、のそれぞれ2つずつ。 ですから、それら全部を答える必要があるのは当たり前。

　いずれも直角になるところを原点にしてやれば簡単で、90度「左に」回す操作は「iを掛ける」、90度「右に」回す操作は「-iを掛ける」ということ。
　(1)は「αを原点にして、(β - α)を90度左か右かに回したのが(γ - α)になる」んだから、
　　(γ - α) = i(β - α)
と
　　(γ - α) = -i(β - α)
の二通りの式が立つ。(2)、(3)も同様に式を立ててそれぞれγについて解く。

No.4 回答者： tknakamuri 回答日時： 2023/06/30 10:44

γで直角になるケースは、iを掛けると偏角が90°変わるのを利用して

γ+i(γ-α)=β
か
γ-i(γ-α)=β
を解けば良いと思う。

他も同じ様に解ける。

No.3 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/06/30 10:40

γ=α(1+i)-βi

γ=α(1-i)+βi
γ=β(1+i)-αi
γ=β(1-i)+αi
γ={α(1+i)+β(1-i)}/2
γ={α(1-i)+β(1+i)}/2

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2023/06/30 10:29

No.1 です。

＞できましたら具体例を挙げていただき、ご教授願えたらと。

「具体例」ってなんですか？
直接求めればよいだけ。
「スマートに一発で求める」なんて考えずに、泥臭くステップバイステップで求めていけばいいんですよ。
数学で大事なのは、「どの公式にあてはめればよいか」を暗記することではなく、「自分の持っている知識を最大限に活用して試行錯誤すること」です。

「複素平面」といっていますが、やることは「x-y平面」と同じです。

＞α、βを結ぶ辺を直角に向かい合わせになっている辺とすると

そのときには、γ は線分 αβ の「垂直2等分線」上にありますよね。
つまり、αβ の中点を通って線分 αβ に垂直な直線上にある。

＞直角を作る辺とすると

そのときには、γ は α, β を通って線分 αβ に垂直な直線上にある。

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2023/06/30 10:12

＞α、βを結ぶ辺を直角に向かい合わせになっている辺とするとそれでγは２点、直角を作る辺とすると、全部で４つの合計６点あると思うのですが、、、

はい。
それでよいと思います。

それなら求められますよね？

この回答へのお礼

ありがとうございます。
できましたら具体例を挙げていただき、ご教授願えたらと。
よろしくお願い致します。

お礼日時：2023/06/30 10:14