数II 図形と方程式 点(7,1)を通り、円x^2+y^2=25...①に接する直線は、 (ア)x+

数II　図形と方程式

点(7,1)を通り、円x^2+y^2=25...①に接する直線は、
(ア)x+(イ)y=25...②
(ウ)x-(エ)y=25...②

接点を(s,t)とおくと
①よりsx+ty=25

↓これが意味分かりません。
点(7,1)を通るので
7s+t=25
t=-7x+25

点(7,1)を通るのは②の直線です。①は(7,1)に接しません。なぜ①の円の方程式に代入しているのですか？

No.1 ベストアンサー 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/07/02 00:23

何言ってるかわかりませんが。

円上の点(s,t)を通る接線は
　sx+ty=25
が(7,1)を通るから
　7s+t=25・・・・(a)
これを円の式
　s²+t²=25
に入れて
　s=4 or 3
(a)から
　t=-3 or 4

つまり
　4x-3y=25 or 3x+4y=25

No.5 回答者： tknakamuri 回答日時： 2023/07/02 15:27

＞→(s/t)x + y = t - s^2/t

訂正
→(s/t)x + y = t + s^2/t

No.4 回答者： tknakamuri 回答日時： 2023/07/02 09:39

>点(7,1)を通るのは②の直線です。

①は(7,1)に接しません。

これ意味不明です。

接点 p=(s, t)は円上の点なので
s^2+t^2=25 　(A)

点(7, 1)の位置ベクトルをa とするとpは接点なので
pとp-aは垂直だから
p・(p-a)=(s, t)・(s-7, t-1) = s^2-7s + t-2-t)=0
→ -7s-t = -25→ 7s+t = 25 　(B)

(A)、(B)から s, t(接点) が2個求まるので、（s、t)での
接線を求めれば終わりです。

接点での接線の傾きは -s/t ですから
接線の方程式は
(y-t)=(-s/t)(x-s)
→(s/t)x + y = t - s^2/t
t ≠０は明らかだから 両辺にtかけて
→sx+ty = t^2+s^2 = 25

これに上で求めた接点を代入すれば終了。

No.3 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/07/02 05:00

sx+ty=25

は
①の円の方程式(x^2+y^2=25)に(s,t)を代入したものではありません

sx+ty=25
は
(x^2+y^2=25)上の点(s,t)での接線の方程式なのです

(x^2+y^2=25)上の点(s,t)での接線
sx+ty=25
は
(x,y)=(7,1)を通るので

sx+ty=25
の
(x,y)に
(7,1)を代入するのです

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2023/07/02 02:22

何を「①の円の方程式に代入している」といっている?