No.5ベストアンサー
- 回答日時:
まず, a, b, c の間に関係があることはいいですね? そして, P を楕円E 上の点としたことから p と q の間にも関係がありますね. これらのことから b と q を消去することができ, ごりごり計算すると FT:F'T = FP:F'P であることが示せます. 比の形で示すより FT・F'P = F'T・FP の方が簡単かな? あるいは 2乗するか.
「加法定理」の方は, 傾き m1, m2 の直線が x軸の正の方向となす角を θ1, θ2 とすると s = θ1 - θ2 です (厳密にいうともうちょっといろいろ考えないといかんが). ここで tan s に対して加法定理を使うと tan s を tan θ1, tan θ2 で書くことができます. さて, tan θ1, tan θ2 はそれぞれいくつですか?
No.4
- 回答日時:
△ABC において ∠A の 2等分線と辺BC との交点を D としたとき, 4つの長さ AB, AC, DB, DC の間にどのような関係が成り立ちますか?
ちなみに #3 の tan s は「加法定理」そのもの.
この回答への補足
AB:AC=DB:DCです
つまり法線nとx軸との交点をTとすればPF':PF=F'T:FTを示せば良いということですね
というわけでPを(p,q)としたときT(p-(b^2/a^2),0)と求めたのですが、
F'T:FT=p-(b^2/a^2)+c:p-(b^2/a^2)-cが
PF':PF=√{(p+c)^2+q^2}:√{(p-c)^2+q^2}になるよう変形する方法ありますか?
あと、加法定理そのものってどういうことでしょうか?tanの加法定理はtanがsin/cosであることを利用して作ったのですが
No.3
- 回答日時:
>Oを原点とする座標平面上において
2定点F(c,0)、F'(-c,0)からの距離の和が2a(ただしa>c>0)であるような点Pの軌跡をEとする
このときEの標準形はx^2/a^2 + y^2/b^2 = 1である
楕円の方程式の出発点です。教科書に必ず書いてあります。それが見つからないのなら数学はやめたほうがよいでしょう。
ここで
b^2=a^2-c^2 (1)
を確認してください。
>このとき、Pでの接線lに垂直な直線nが∠FPF'を2等分することを示せ
教科書の練習問題または数学の問題集[1冊ぐらい持っているでしょう]に大抵出ています。
ともあれこのような問題は実力がそのまま出ます。この問題を10回ぐらい繰り返してやるだけで実力がグ-ンと上がります。そのためにここでやっておきましょう。
P(p,q)とするとPにおける楕円の接線は
px/a^2+qy/b^2=1
これも必ず教科書に出ています。
傾き=-b^2p/qa^2はわかりますね。
よってnの傾きn0=qa^2/pb^2もわかりますか。
PFの傾きm=q/(p-c)
PF'の傾きm'=q/(p+c)
傾きm1の直線と傾きm2の直線のなす角sのtansは
tans=(m1-m2)/(1+m1m2)
も教科書に出ています。大きな核から小さな核を引くようにする必要があります。絵をかいて決めてください。
tan∠FPn=(m-n0)/(1+mn0)
これに先ほどの傾きを入れ手計算することになります。初心者には大変ですが実力アップにはもってこいです。
tan∠FPn=q[p(b^2-a^2)+a^2c]/[p^2b^2+a^2q^2-pcb^2]
が出れば大したものです。
点Pが楕円上にあることから
p^2/a^2+q^2/b^2=1
よって
p^2b^2+q^2a^2=a^2b^2
および(1)を用いて
tan∠FPn=qc/b^2
が出ます。
同様に
tan∠F’Pn=qc/b^2
が出ます。必ず自分で寄ってみること。
よって
∠FPn=∠F’Pn
QED
この回答への補足
傾きm1の直線と傾きm2の直線のなす角sのtansは
tans=(m1-m2)/(1+m1m2)
今教科書を確認しましたが、載っていませんでした
加法定理のような形になってますが、なぜこうなるのか良ければ教えていただけませんか?
No.2
- 回答日時:
F1(-c、0)、F2(c,0)とし、原点をOとする。
原点を中心として半径aの円を描き、任意の円上の任意の点をH1とする。
F1からH1に直線を引き、その直線上にF1H1=H1Qとなるように点Qをおく。
H1を通って、F1H1に垂直な線をひき、直線F2Qとの交点をPとすると
PF1+PF2 =PQ+PF2=F2Q=2・OH=2aとなり、Pは楕円となる。
H1Pは同時に楕円の接線となる。
Pから垂直な線をかくと、それはQF1と平行であるから、
その線は∠F1 P F2 を二等分する。
この回答への補足
PF1=PQとなるのは何故ですか?
また、F2Q=2・OHとなるのは何故ですか?
また、H1Pと垂直な直線がQF1と平行だとその線が∠F1 P F2 を二等分するのは何故ですか?
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