地学 物理学 物理 地球 宇宙 物理についてです。 地上付近を速さ v1 で伝わる地震波の速さが、あ

地学 物理学 物理 地球 宇宙

物理についてです。
地上付近を速さ v1 で伝わる地震波の速さが、ある深さ h で v2(>v1) になると する。震源からの距離と地震波の到達時刻の関係を図示したところ、震源から x0 離れた所で線に折れ曲がりが見られた。このときの h の表式は写真の式で合ってますか？

この式をもとにv1 =6.0 km/s、v2 =8.4 km/s、x0 =127 km の場合の h を計算して有効数字2桁にするとしたら、2.6×10^1 kmであってますか？

どうかお願いします。

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2023/10/19 14:06

地表を伝わる波が到達する時間は

　T1 = x0/v1

深さ h の到達するまでに、地表層を水平に L だけ進む場合には
　地表層をナナメに進む距離は √(h^2 + L^2)
　その所要時間は
　　T2 = [√(h^2 + L^2)]/v1
これが「震源」付近と「観測値」付近の2か所ある。

深さｈを進む距離は x0 - 2L
その所要時間は
　T3 = (x0 - 2L)/v2

従って、深さ h を伝わる波の到達時間は
　T = 2 × T2 + T3 = 2[√(h^2 + L^2)]/v1 + (x0 - 2L)/v2　　　　①
これは L の関数なので、最短ルートで L が極小（最小）となる必要条件は
　dT/dL = 0
となること。
従って
　dT/dL = 2L/[v1√(h^2 + L^2)] - 2/v2 = 0
より
　Lv2 = v1√(h^2 + L^2)
→　L^2･(v2)^2 = (v1)^2･(h^2 + L^2)
→　L^2･[(v2)^2 - (v1)^2] = (v1)^2･h^2
→　L^2 = (v1)^2･h^2/[(v2)^2 - (v1)^2]
→　L = v1･h/√[(v2)^2 - (v1)^2]　　　　　　　　②

このときに、深さ h を通って x0 だけ進む時間 T が最短となる。

これを使えば、①は
　T = 2[v1√{h^2 + (v1)^2･h^2/[(v2)^2 - (v1)^2]}/v1 + {X0 - 2v1･h/√[(v2)^2 - (v1)^2]}/v2
　　＝2v2･h/{v1√[(v2)^2 - (v1)^2]} + x0/v2 - 2v1･h/{v2√[(v2)^2 - (v1)^2]}
　　＝2(v2/v1 - v1/v2)･h/√[(v2)^2 - (v1)^2] + x0/v2

これが T1 に等しいので
　2(v2/v1 - v1/v2)･h/√[(v2)^2 - (v1)^2] + x0/v20/v2 = x0/v1
これを h について整理すれば
　2[(v2)^2 - (v1)^2]･h/{v1･v2√[(v2)^2 - (v1)^2]} = x0(1/v1 - 1/V2)　
　　　　　　　　　　　　　　　　= x0(v2 - v1)/(v1･v2)
→　2(v2 + v1)h/√[(v2)^2 - (v1)^2]} = x0
→　h = {x0√[(v2)^2 - (v1)^2]}/[2(v2 + v1)]


あとは、具体的な数値を代入するだけで

　h = [127 * √(8.4^2 - 6.0^2)] / (2 * (6.0 + 8.4)]
　　= 25.92･･･
　　≒ 2.6 * 10^1 [km]