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地学 物理学 物理 地球 宇宙
物理についてです。
地上付近を速さ v1 で伝わる地震波の速さが、ある深さ h で v2(>v1) になると する。震源からの距離と地震波の到達時刻の関係を図示したところ、震源から x0 離れた所で線に折れ曲がりが見られた。このときの h の表式は写真の式で合ってますか?
この式をもとにv1 =6.0 km/s、v2 =8.4 km/s、x0 =127 km の場合の h を計算して有効数字2桁にするとしたら、2.6×10^1 kmであってますか?
どうかお願いします。
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A 回答 (1件)
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No.1
- 回答日時:
地表を伝わる波が到達する時間は
T1 = x0/v1
深さ h の到達するまでに、地表層を水平に L だけ進む場合には
地表層をナナメに進む距離は √(h^2 + L^2)
その所要時間は
T2 = [√(h^2 + L^2)]/v1
これが「震源」付近と「観測値」付近の2か所ある。
深さhを進む距離は x0 - 2L
その所要時間は
T3 = (x0 - 2L)/v2
従って、深さ h を伝わる波の到達時間は
T = 2 × T2 + T3 = 2[√(h^2 + L^2)]/v1 + (x0 - 2L)/v2 ①
これは L の関数なので、最短ルートで L が極小(最小)となる必要条件は
dT/dL = 0
となること。
従って
dT/dL = 2L/[v1√(h^2 + L^2)] - 2/v2 = 0
より
Lv2 = v1√(h^2 + L^2)
→ L^2・(v2)^2 = (v1)^2・(h^2 + L^2)
→ L^2・[(v2)^2 - (v1)^2] = (v1)^2・h^2
→ L^2 = (v1)^2・h^2/[(v2)^2 - (v1)^2]
→ L = v1・h/√[(v2)^2 - (v1)^2] ②
このときに、深さ h を通って x0 だけ進む時間 T が最短となる。
これを使えば、①は
T = 2[v1√{h^2 + (v1)^2・h^2/[(v2)^2 - (v1)^2]}/v1 + {X0 - 2v1・h/√[(v2)^2 - (v1)^2]}/v2
=2v2・h/{v1√[(v2)^2 - (v1)^2]} + x0/v2 - 2v1・h/{v2√[(v2)^2 - (v1)^2]}
=2(v2/v1 - v1/v2)・h/√[(v2)^2 - (v1)^2] + x0/v2
これが T1 に等しいので
2(v2/v1 - v1/v2)・h/√[(v2)^2 - (v1)^2] + x0/v20/v2 = x0/v1
これを h について整理すれば
2[(v2)^2 - (v1)^2]・h/{v1・v2√[(v2)^2 - (v1)^2]} = x0(1/v1 - 1/V2)
= x0(v2 - v1)/(v1・v2)
→ 2(v2 + v1)h/√[(v2)^2 - (v1)^2]} = x0
→ h = {x0√[(v2)^2 - (v1)^2]}/[2(v2 + v1)]
あとは、具体的な数値を代入するだけで
h = [127 * √(8.4^2 - 6.0^2)] / (2 * (6.0 + 8.4)]
= 25.92・・・
≒ 2.6 * 10^1 [km]
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