ある製品に使われている LED 部品の寿命時間･Xの母集団分布は,指数分布に従っているものとする。こ

ある製品に使われている LED 部品の寿命時間･Xの母集団分布は,指数分布に従っているものとする。このとき、次の間
いに答えなさい
[1] この母集団から7個の標本 (x1、x2.... x7)が与えられたときの充度関数を記載せよ。
[2] この LED 部品について、以下に示す7個の寿命時間に関するデータを得たときの最尤推定値λを求め,このときの指数分
布の平均値を推定せよ。

この問題の解説と答えを教えてください。

No.2 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2023/11/13 02:12

本問において、μ＝1／λの関係は、たぶん証明無しで使って良いと思います。

証明はこちら↓

https://ai-trend.jp/basic-study/exponential-dist …

定石通り、１次の積率を使って証明しています。

No.1 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2023/11/13 02:03

指数分布の確率密度関数は、

f(x,λ)＝λ・exp(ーλx)
ここで、λ＝1／μの関係があります。
つまり、λを最尤推定すれば、その逆数が平均になります。

[1]
尤度関数は、同時確率ですから、
L(λ|x)＝λ^7・{exp(ーλx1)・exp(ーλx2)・exp(ーλx3)・exp(ーλx4)・exp(ーλx5)・exp(ーλx6)・exp(ーλx7)}
＝λ^7・exp(ーλ・Σxi)・・・・①
サンメンションの範囲は省略しましたが、分かりますよね。

ただし、この状態で最尤推定（λで微分し０と置いてLの極大値を与えるλを解く）は困難ですので、対数尤度に置き替えます。

log{L(λ|x)}＝7log(λ)ーλ・Σxi・・・・②

たぶん、[1]の回答は①で良いと思います。対数の語句が見られませんから。ただ統計屋の常識としては②を書きますがね。

[2]
∂(L(λ|x))／∂λ＝7／λーΣxi ですから、これを0と置いて、

7／λーΣxi＝0
7／λ＝Σxi
∴λ＝7／Σxi

最初に述べたように、平均μはλの逆数ですから、
μ＝Σxi／7

μは標本平均に一致します。